Question

如圖，在多面體ABCDEF中，四邊形ABCD是矩形，在四邊形ABFE中，AB∥EF，∠EAB=90°，AB=4，AD=AE=EF=2，平面ABFE⊥平面ABCD．
（1）求證：AF⊥平面BCF；
（2）求多面體ABCDEF的體積．

Answer 1

【答案】分析：（1）首先利用平面ABFE與平面ABCD互相垂直，結(jié)合面面垂直的性質(zhì)得到AF與CB垂直，然后利用余弦定理在△ABF中計算出BF的長，從而BF²+AF²=AB²，得出AF⊥FB，最后運用直線與平面垂直的判定定理，得到AF⊥平面BCF；
（2）分別取CD、AB中點G、H，連接GH、GF和FH，將多面體分割為一個直三棱柱和一個四棱錐．然后利用（1）中的線面垂直、線線垂直關(guān)系和線段長度，分別計算出直三棱柱和四棱錐的體積，最后可求出求多面體ABCDEF的體積．
解答：解：（1）∵平面ABFE⊥平面ABCD，平面ABFE∩平面ABCD=AB，CB⊥AB，
∴CB⊥平面ABFE，結(jié)合AF⊆平面ABFE，
∴AF⊥CB
在直角梯形ABFE中，AB∥EF，∠EAB=90°AE=EF=2
∴AF=⇒∠FAB=45°
△ABF中，AB=4，根據(jù)余弦定理得：
BF=
∴BF²+AF²=AB²⇒AF⊥FB．
∵CB∩FB=B，
∴AF⊥平面BCF．…（6分）
（2）分別取CD、AB中點G、H，連接GH、GF和FH
由（1）的證明知三棱柱DAE-GHF是直三棱柱三棱柱DAE-GHF
∴V_{三棱柱DAE-GHF}=S_△AED•EF=AD•AE•EF=4
又∵平面ABFE⊥平面ABCD，平面ABFE∩平面ABCD=AB，
等腰Rt△AFB中，中線FH⊥AB，
∴FH⊥平面ABCD，F(xiàn)H是四棱錐F-BCGH的高線
∴V_{四棱錐F-BCGH}=S_矩形BCGH•FH=•GC•GH•FH=
所以多面體ABCDEF的體積V=V_{三棱柱DAE-GHF}+V_{四棱錐F-BCGH}=…（12分）
點評：本題是一道立體幾何的綜合題，著重考查了利用棱柱、棱錐、棱臺的體積公式求組合幾何體的面積、體積問題和平面與平面垂直的性質(zhì)及直線與平面垂直的判定等知識點，屬于中檔題．