Question

已知函數(shù)f（x）=（2-a）（x-1）-2lnx．
（I）當(dāng)a=1時(shí)，求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（II）若函數(shù)f(x)在(0，

1

2

)上無(wú)零點(diǎn)，求a的最小值；
（III）若0＜n＜m，求證：

m-n

lnm-lnn

＜2m．

Answer 1

分析：（I）代入a的值，寫(xiě)出函數(shù)的解析式，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，使得導(dǎo)函數(shù)大于0，求出自變量的值，寫(xiě)出單調(diào)區(qū)間．
（II）根據(jù)函數(shù)無(wú)零點(diǎn)，得到函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)小于0在一個(gè)區(qū)間上不恒成立，得到函數(shù)在這個(gè)區(qū)間上沒(méi)有零點(diǎn)，構(gòu)造新函數(shù)，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，利用求最值得方法求出函數(shù)的最小值．
（III）要證明不等式成立，由第（I）問(wèn)可知f（x）=（x-1）-2lnx在（0，1]上單調(diào)遞減，得到兩個(gè)自變量的函數(shù)值之間的關(guān)系，整理出結(jié)果．

解答：解：（I）當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=x-1-2lnx，則f′(x)=1-

2

x

，（1分）
由f'（x）＞0，得x＞2；
由f'（x）＜0，得0＜x＜2．（3分）
故f（x）的單調(diào)減區(qū)間為（0，2]，單調(diào)增區(qū)間為[2，+∞）（4分）
（II）因?yàn)?span id="hfhb9jv" class="MathJye">f(x)＜0在區(qū)間(0，

1

2

)上恒成立不可能，
故要使函數(shù)f(x)在(0，

1

2

)上無(wú)零點(diǎn)，
只要對(duì)任意的x∈(0，

1

2

)，f(x)＞0恒成立，
即對(duì)x∈(0，

1

2

)，a＞2-

2lnx

x-1

恒成立．（6分）
令l(x)=2-

2lnx

x-1

，x∈(0，

1

2

)，
則l(x)=-

2 x (x-1)-2lnx

(x-1)2

=

2lnx+ 2 x -2

(x-1)2

，（7分）

再令m(x)=2lnx+ 2 x -2，x∈(0， 1 2 )， 則m′(x)=- 2 x2 + 2 x = -2(1-x) x2 ＜0，

故m(x)在(0，

1

2

)上為減函數(shù)，

于是m(x)＞m( 1 2 )=2-2ln2＞0， 從而，l(x)＞0，于是l(x)在(0， 1 2 )上為增函數(shù)，

所以l(x)＜l( 1 2 )=2-4ln2， 故要使a＞2- 2lnx x-1 恒成立，只要a∈[2-4ln2，+∞)，

綜上，若函數(shù)f(x)在(0，

1

2

)上無(wú)零點(diǎn)，則a的最小值為2-4ln2．（9分）
（III）證明：由第（I）問(wèn)可知f（x）=（x-1）-2lnx在（0，1]上單調(diào)遞減．
∵0＜

n

m

＜1，∴f(

n

m

)＞f(1)（12分）
∴(

n

m

-1)-2ln

n

m

＞0?

n-m

m

＞2(lnn-lnm)∴

m-n

m

＜2(lnm-lnn)，
即

m-n

lnm-lnn

＜2m（14分）

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查函數(shù)與導(dǎo)數(shù)等知識(shí)，考查恒成立問(wèn)題，化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，以及推理論證能力和運(yùn)算求解能力，本題解題的關(guān)鍵是最后一問(wèn)，利用函數(shù)的單調(diào)性證明不等式．