Question

設(shè)數(shù)列{a_n}是公差為d的等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為S_n．已知a₁=1，d=2，
①求當(dāng)n∈N^*時(shí)，的最小值；
②證明：由①知S_n=n²，當(dāng)n∈N^*時(shí)，+…+．

Answer 1

解：①∵a₁=1，d=2，∴S_n==n²，
==≥=16
當(dāng)且僅當(dāng)n=即n=8時(shí)，上式取等號，
故的最小值是16；
②證明：由①知S_n=n²，當(dāng)n∈N^*時(shí)，
==，
∴+…+
=[-+++…+]
=，
∵
∴+…+=
故命題得證．
分析：①通過等差數(shù)列的知識可求和，由基本不等式可得最值；②把①求到的和代入，由裂項(xiàng)相消法可求和，由不等式的放縮法可得結(jié)論．
點(diǎn)評：本題為數(shù)列和基本不等式的結(jié)合，涉及裂項(xiàng)相消法求和，屬中檔題．