已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且Sn=2an-2;數(shù)列{bn}的首項為1,點(diǎn)P(n,bn)都在斜率為2的同一條直線l上(以上n∈N*).
求:(1)數(shù)列{an}、{bn}的通項公式;
(2)求數(shù)列{abn}、{ban}的前n項和.
分析:(1)要求數(shù)列{a
n},{b
n}的通項公式,先要根據(jù)已知條件判斷,數(shù)列是否為等差(比)數(shù)列,由S
n=2a
n-2,不難得到數(shù)列{a
n}為等比數(shù)列,而由由題意可知,
=2∴b
n=2n-1易得數(shù)列{b
n}是一個等差數(shù)列.求出對應(yīng)的基本量,代入即可求出數(shù)列{a
n},{b
n}的通項公式.
(2)由(1)中結(jié)論,我們易得基本數(shù)列{a
bn}、{b
an},即數(shù)列{a
bn}的通項公式一個等比數(shù)列的形式,數(shù)列{b
an}的通項公式一個等比數(shù)列與一個常數(shù)數(shù)列的形式,利用等差等比數(shù)列的求和公式即可求數(shù)列{a
bn}、{b
an}的前n項和.
解答:解:(1)當(dāng)n=1時,a
1=S
1=2a
1-2∴a
1=2
當(dāng)n≥2時,a
n=S
n-S
n-1=2a
n-2-(2a
n-1-2)=2a
n-2a
n-1∴a
n=2a
n-1∴{a
n}是以2為首項,2為公比的等比數(shù)列,即a
n=2
n由題意可知,
=2∴b
n=2n-1
(2)由(1)可知:
abn=2bn=22n-1,
數(shù)列{a
bn}的前n項和為
21+23+25+…+22n-1==由(1)可知:b
an=2a
n-1=2
n+1-1,
數(shù)列{b
an}的前n項和為:
| 22-1+23-1+24-1+…+2n+1-1 | =(22+23+24+…+2n+1)-(1+1+1+…+1) | =-n | =2n+2-n-4 |
| |
點(diǎn)評:解答特殊數(shù)列(等差數(shù)列與等比數(shù)列)的問題時,根據(jù)已知條件構(gòu)造關(guān)于基本量的方程,解方程求出基本量,再根據(jù)定義確定數(shù)列的通項公式及前n項和公式,然后代入進(jìn)行運(yùn)算.