Question

已知關(guān)于x的方程lnx-ax=0恰有一個實根，則實數(shù)a的取值范圍

 

．

Answer 1

分析：先構(gòu)造函數(shù)y=lnx-ax，借助于導(dǎo)數(shù)，進(jìn)行分類討論，可知當(dāng)a≤0時，（0，1]之間必有一個實根；a=

1

e

 時，也恰有一個實根．

解答：解：設(shè)y=lnx-ax，則y'=

1

x

-a=0，x=

1

a

，y“=-

1

x2

＜0
當(dāng)a≤0，y'＞0，最多有一個實根，因 y（0-）＜0，y（1）≥0，所以（0，1]之間必有一個實根
a＞0，x=

1

a

，y=-lna-1為極大值，此極大值若為0的話，則有一個實根，此時a=

1

e

 此極大值若大于0的話，會有兩個實根，此極大值若小于0的話，則無實根．
因此a的取值范圍為：(-∞，0]∪{

1

e

}，
故答案為(-∞，0]∪{

1

e

}

點評：本題利用導(dǎo)數(shù)解決方程根的個數(shù)問題，有一定難度，應(yīng)注意細(xì)細(xì)體會．