Question

（2009重慶卷文）（本小題滿分13分，（Ⅰ）問7分，（Ⅱ）問6分）

如題（18）圖，在五面體中，∥，，，四邊形為平行四邊形，平面，．求：

（Ⅰ）直線到平面的距離；

（Ⅱ）二面角的平面角的正切值．

Answer 1

解法一:

（Ⅰ）平面, AB到面的距離等于點(diǎn)A到面的距離，過點(diǎn)A作于G，因∥，故；又平面，由三垂線定理可知，，故，知，所以AG為所求直線AB到面的距離。

在中，

由平面，得AD，從而在中，

。即直線到平面的距離為。

（Ⅱ）由己知，平面，得AD，又由，知，故平面ABFE

，所以，為二面角的平面角，記為.

在中, ,由得,,從而

在中,   ,故

所以二面角的平面角的正切值為.

解法二:

（Ⅰ）如圖以A點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),的方向?yàn)?sub>的正方向建立空間直角坐標(biāo)系數(shù),則

A(0,0,0)  C(2,2,0)  D(0,2,0)  設(shè)可得,由.即,解得  ∥，

面,所以直線AB到面的距離等于點(diǎn)A到面的距離。設(shè)A點(diǎn)在平面上的射影點(diǎn)為,則 因且,而

,此即   解得　①　,知G點(diǎn)在面上,故G點(diǎn)在FD上.

,故有  ②   聯(lián)立①,②解得,  .   

為直線AB到面的距離.  而   所以

（Ⅱ）因四邊形為平行四邊形,則可設(shè), .由

得,解得.即.故

由,因,,故為二面角的平面角，又,,,所以