【題目】已知函數(shù)

(1)當(dāng)a=0時,求函數(shù)f(x)在(1,f(1))處的切線方程;

(2)令求函數(shù)的極值.

(3)若,正實數(shù)滿足,

證明:.

【答案】(1)2x﹣y﹣1=0;(2)詳見解析;(3)

【解析】試題分析:

(1)利用導(dǎo)函數(shù)在處的值求得斜率,然后點斜式求解切線方程即可

(2)利用導(dǎo)函數(shù)與極值的關(guān)系結(jié)合題意分類討論可得當(dāng)a≤0時,函數(shù)g(x)無極值;

當(dāng)a>0時,函數(shù)g(x)有極大值﹣lna,無極小值;

(3)利用題意構(gòu)造,結(jié)合題意進行證明即可.

試題解析:

(1)當(dāng)a=0時,f(x)=lnx+x,則f(1)=1,所以切點為(1,1),

又f′(x)=+1,則切線斜率k=f′(1)=2,

故切線方程為:y﹣1=2(x﹣1),即2x﹣y﹣1=0;

(2)g(x)=f(x)﹣(ax﹣1)=lnx﹣ax2+(1﹣a)x+1,

所以g′(x)=﹣ax+(1﹣a)=

當(dāng)a≤0時,因為x>0,所以g′(x)>0.

所以g(x)在(0,+∞)上是遞增函數(shù),無極值;

當(dāng)a>0時,g′(x)=

令g′(x)=0,得x=,

所以當(dāng)x∈(0,)時,g′(x)>0;當(dāng)x∈(,+∞)時,g′(x)<0,

因此函數(shù)g(x)在x∈(0,)是增函數(shù),在(,+∞)是減函數(shù),

當(dāng)a>0時,函數(shù)g(x)的遞增區(qū)間是(0,),遞減區(qū)間是(,+∞),

∴x=時,g(x)有極大值g()=﹣lna,

綜上,當(dāng)a≤0時,函數(shù)g(x)無極值;

當(dāng)a>0時,函數(shù)g(x)有極大值﹣lna,無極小值;

(3)解:由,令,則由

可知,在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞減,在區(qū)間上單調(diào)遞增,所以,,

所以解得

又因為,因此成立

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】2014年7月18日15時,超強臺風(fēng)“威馬遜”登陸海南。畵(jù)統(tǒng)計,本次臺風(fēng)造成全省直接經(jīng)濟損失119.52億元.適逢暑假,小明調(diào)查住在自己小區(qū)的50戶居民由于臺風(fēng)造成的經(jīng)濟損失,作出如下頻率分布直方圖:

經(jīng)濟損失

4000元以下

經(jīng)濟損失

4000元以上

合計

捐款超過500元

30

捐款低于500元

6

合計

(1)臺風(fēng)后區(qū)委會號召小區(qū)居民為臺風(fēng)重災(zāi)區(qū)捐款,小明調(diào)查的50戶居民捐款情況如上表,在表格空白處填寫正確數(shù)字,并說明是否有以上的把握認為捐款數(shù)額是否多于或少于500元和自身經(jīng)濟損失是否到4000元有關(guān)?

(2)臺風(fēng)造成了小區(qū)多戶居民門窗損壞,若小區(qū)所有居民的門窗均由李師傅和張師傅兩人進行維修,李師傅每天早上在7:00到8:00之間的任意時刻來到小區(qū),張師傅每天早上在7:30到8:30分之間的任意時刻來到小區(qū),求連續(xù)3天內(nèi),李師傅比張師傅早到小區(qū)的天數(shù)的數(shù)學(xué)期望.

附:臨界值表

參考公式: .

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】產(chǎn)能利用率是指實際產(chǎn)出與生產(chǎn)能力的比率,工r產(chǎn)能利用率是衡量工業(yè)生產(chǎn)經(jīng)營狀況的重要指標(biāo).下圖為國家統(tǒng)計局發(fā)布的2015年至2018年第2季度我國工業(yè)產(chǎn)能利用率的折線圖.

在統(tǒng)計學(xué)中,同比是指本期統(tǒng)計數(shù)據(jù)與上一年同期統(tǒng)計數(shù)據(jù)相比較,例如2016年第二季度與2015年第二季度相比較;環(huán)比是指本期統(tǒng)計數(shù)據(jù)與上期統(tǒng)計數(shù)據(jù)相比較,例如2015年第二季度與2015年第一季度相比較.

據(jù)上述信息,下列結(jié)論中正確的是( ).

A. 2015年第三季度環(huán)比有所提高B. 2016年第一季度同比有所提高

C. 2017年第三季度同比有所提高D. 2018年第一季度環(huán)比有所提高

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】在長方體ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD為正方形,AA1=2AB=1,EAD中點,FCC1中點.

1)求證:ADD1F;

2)求證:CE//平面AD1F;

3)求AA1與平面AD1F成角的余弦值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,在四棱錐中,平面平面,是等邊三角形,已知

(1)設(shè)上的一點,證明:平面平面

(2)求四棱錐的體積.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】設(shè)橢圓的左右焦點為,,上的動點,則下列結(jié)論正確的是(

A.B.離心率

C.面積的最大值為D.以線段為直徑的圓與直線相切

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】某手機廠商在銷售某型號手機時開展手機碎屏險活動.用戶購買該型號手機時可選購手機碎屏險,保費為元,若在購機后一年內(nèi)發(fā)生碎屏可免費更換一次屏幕,為了合理確定保費的值,該手機廠商進行了問卷調(diào)查,統(tǒng)計后得到下表(其中表示保費為元時愿意購買該手機碎屏險的用戶比例):

1)根據(jù)上面的數(shù)據(jù)計算得,求出關(guān)于的線性回歸方程;

2)若愿意購買該手機碎屏險的用戶比例超過,則手機廠商可以獲利,現(xiàn)從表格中的種保費任取種,求這種保費至少有一種能使廠商獲利的概率.

附:回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計分別為

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】某初級中學(xué)共有學(xué)生2000名,各年級男生女生人數(shù)如表: 已知在全校學(xué)生中隨機抽取1名,抽到的是初二年級女生的概率是0.19.

初一年級

初二年級

初三年級

女生

373

x

y

男生

377

370

z

(1)求x的值.

(2)現(xiàn)用分層抽樣法在全校抽取48名學(xué)生,問應(yīng)在初三年級學(xué)生中抽取多少名?

(3)已知y245,z245,求初三年級女生比男生多的概率.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】微信作為一款社交軟件已經(jīng)在支付,理財,交通,運動等各方面給人的生活帶來各種各樣的便利.手機微信中的“微信運動”,不僅可以看自己每天的運動步數(shù),還可以看到朋友圈里好友的步數(shù). 先生朋友圈里有大量好友使用了“微信運動”這項功能.他隨機選取了其中40名,記錄了他們某一天的走路步數(shù),統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表所示:

(1)以樣本估計總體,視樣本頻率為概率,在先生的微信朋友圈里的男性好友中任意選取3名,其中走路步數(shù)不低于6000步的有名,求的分布列和數(shù)學(xué)期望;

(2)如果某人一天的走路步數(shù)不低于8000步,此人將被“微信運動”評定為“運動達人”,否則為“運動鳥人”.根據(jù)題意完成下面的列聯(lián)表,并據(jù)此判斷能否有90%以上的把握認為“評定類型”

與“性別”有關(guān)?

附:.

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同步練習(xí)冊答案