Question

已知數(shù)列{a_n}滿足：a₁=，且a_n=（n≥2，n∈N^*）．
（1）求++…+的值；
（2）求證：a₁++…+≤n+-（n∈N^*）；
（3）設(shè)（n∈N^*），求證：b₁b₂…b_n＜2．

Answer 1

解：（1）∵a₁=，且a_n=（n≥2，n∈N^*），∴=，=+．
∴=2+，∴3（）=-1．
故可得 {}是以-位首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，∴-1=- ，∴=1-．
∴++…+=n-=n-+ ．

（2）∵=1-，∴==1+≤1+，

∴a₁++…+≤n++=n++-=n+-（n∈N^*）．

（3）∵b_n==，現(xiàn)用數(shù)學(xué)歸納法證明 b₁b₂…b_n＜2 ，（n≥2）．
當(dāng)n=2時，b₁b₂ = = =2 ．
假設(shè)當(dāng)n=k （k≥2）時，b₁b₂…b_k ＜2 ，
當(dāng) n=k+1時，b₁b₂…b_k b_k+1＜2 •．
要證明 2 •＜2，
只需證明 3^k+1•3^k+1 （ 3^k-1）＜3^k•（3^k+1-1）²，
只要證 3×3^k+1 （ 3^k-1）＜（3^k+1-1）²，3^2k+2-3^k+2＜3^2k+2-23^k+1+1，
3^k+2＞23^k+1-1，3^k+1＞-1．
而3^k+1＞-1 顯然成立，∴n=k+1 時，b₁b₂…b_k b_k+1＜2，
綜上得 b₁b₂…b_k b_k+1＜2＜2．
又當(dāng)n=1時，b₁＜2，所以 b₁b₂…b_k b_k+1＜2．
分析：（1）把所給的式子變形可得 3（）=-1，故可得 {}是以-位首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，求出 =1-，從而可求 ++…+ 的值．
（2）由條件可得 =≤1+，從而得到 a₁++…+≤n++=n++-，運(yùn)算求出結(jié)果．
（3）由b_n==，用數(shù)學(xué)歸納法證明 b₁b₂…b_n＜2 ＜2，（n≥2），再由b₁＜2，從而得出結(jié)論成立．
點(diǎn)評：本題主要考查用放縮法證明不等式，用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式，掌握好放縮的程度，是解題的難點(diǎn)．還考查等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，等比關(guān)系的確定，數(shù)列與不等式的綜合，屬于難題．