Question

2．已知函數(shù)f（x）=lnx-$\frac{1}{2}a{x^2}$+1．
（I）證明：曲線y=f（x）在x=1處的切線恒過(guò)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)；
（II）若關(guān)于x的不等式f（x）≤（a-1）x恒成立，求整數(shù)a的最小值．

Answer 1

分析 （I）求出導(dǎo)函數(shù)，得出切線方程，化為斜截式可得出定點(diǎn)坐標(biāo)；
（II）構(gòu)造函數(shù)g（x）=lnx-$\frac{1}{2}a{x^2}$+1-（a-1）x，把恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為最值問(wèn)題進(jìn)行求解即可．

解答 解：（Ⅰ）f（x）=lnx-$\frac{1}{2}a{x^2}$+1．
∴f'（x）=$\frac{1}{x}$-ax，
∴f'（1）=1-a，f（1）=-$\frac{1}{2}$a+1，
∴在x=1處的切線為y-（-$\frac{1}{2}$a+1）=（1-a）（x-1），
∴y=-a（x-$\frac{1}{2}$）+x，恒過(guò)（$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$）；
（II）令g（x）=lnx-$\frac{1}{2}a{x^2}$+1-（a-1）x≤0恒成立，
∵g'（x）=$\frac{-a{x}^{2}+（1-a）x+1}{x}$，
（1）當(dāng)a≤0時(shí)，g'（x）＞0，g（x）遞增，
g（1）=-$\frac{3}{2}$a+2＞0，不成立；
（2）當(dāng)a＞0時(shí)，
當(dāng)x在（0，$\frac{1}{a}$）時(shí)，g'（x）＞0，g（x）遞增；
當(dāng)x在（$\frac{1}{a}$，+∞）時(shí)，g'（x）＜0，g（x）遞減，
∴函數(shù)最大值g（$\frac{1}{a}$）=$\frac{1}{2a}$-lna，
令h（a）=$\frac{1}{2a}$-lna，可知為減函數(shù)，
∵h(yuǎn)（1）＞0，h（2）＜0，
∴整數(shù)a的最小值為2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了導(dǎo)函數(shù)的應(yīng)用和對(duì)直線方程的理解．難點(diǎn)是對(duì)函數(shù)的構(gòu)造和參數(shù)的分類討論．