Question

在平面直角坐標(biāo)系xoy中，已知焦點(diǎn)為F的拋物線x²=4y上有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)A、B，且滿足

AF

=λ

FB

，過A、B兩點(diǎn)分別作拋物線的切線，設(shè)兩切線的交點(diǎn)為M．
（1）求：

OA

•

OB

的值；
（2）證明：

FM

•

AB

為定值．

Answer 1

分析：（1）先設(shè)出動(dòng)點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，結(jié)合

AF

=λ

FB

，消去λ求出A、B的坐標(biāo)之間的關(guān)系，即可得到

OA

•

OB

的值；
（2）先求出過A、B兩點(diǎn)的切線方程，聯(lián)立求出M的坐標(biāo)，再代入

FM

•

AB

整理即可得到答案．

解答：解：（1）設(shè)A(x1，

x 2 1

4

)，B(x2，

x 2 2

4

) 
∵焦點(diǎn)F（0，1）
∴

AF

=(-x1，1-

x 2 1

4

)，

FB

=(x2，

x 2 2

4

-1) 
∵

AF

=λ

FB

∴

-x1=λx2 1- x 2 1 4 =λ( x 2 2 4 -1)

消λ得x1(

x 2 2

4

-1)+x2(1-

x 2 1

4

)=0
化簡(jiǎn)整理得(x1-x2)(

x1x2

4

+1)=0＜BR＞∵x1≠x2，
∴x₁x₂=-4
∴y₁y₂=

x 2 1

4

•

x 2 2

4

=1
∴

OA

•

OB

=x1x2+y1y2=-3（定值）
（2）拋物線方程為y=

1

4

x2∴y′=

1

2

x
∴過拋物線A、B兩點(diǎn)的切線方程分別為y=

1

2

x1(x-x1)+

x 2 1

4

和y=

1

2

x2(x-x2)+

x 2 2

4

即y=

1

2

x1x-

x 2 1

4

和y=

1

2

x2x-

x 2 2

4

聯(lián)立解出兩切線交點(diǎn)M的坐標(biāo)為(

x1+x2

2

，-1)
∴

FM

•

AB

=(

x1+x2

2

．-2)(x2-x1，

x 2 2 - x 2 1

4

)=

x 2 2 - x 2 1

2

-

x 2 2 - x 2 1

2

=0 （定值）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查平面向量數(shù)量積的運(yùn)算．本題比較麻煩的地方在于整理過程比較煩瑣，要認(rèn)真對(duì)待，避免出錯(cuò)．