Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知定點F（1，0），點P在y軸上運動，點M在x軸上，點N為平面內(nèi)的動點，且滿足

PM

•

PF

=0，

PM

+

PN

=0．
（1）求動點N的軌跡C的方程；
（2）設(shè)點Q是直線l：x=-1上任意一點，過點Q作軌跡C的兩條切線QS，QT，切點分別為S，T，設(shè)切線QS，QT的斜率分別為k₁，k₂，直線QF的斜率為k₀，求證：k₁+k₂=2k₀．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）設(shè)點N（x，y），M（a，0），P（0，b），由已知條件推導(dǎo)出點M（-x，0），P(0，

y

2

)，由此能求出動點N的軌跡C的方程．
（2）設(shè)點Q（-1，t），聯(lián)立方程

y2=4x y-t=k(x+1)

，得k²x²+2（k²+kt-2）x+（k+t）²=0，由此利用根的判別式和韋達(dá)定理能證明k₁+k₂=2k₀．

解答： （1）解：設(shè)點N（x，y），M（a，0），P（0，b）．
∵

PM

+

PN

=0可知，∴點P是MN的中點，
∴

a+x 2 =0 0+y 2 =b

，即

a=-x b= y 2

，
∴點M（-x，0），P(0，

y

2

)．
∴

PM

=(-x，-

y

2

)，

PF

=(1，-

y

2

)．    …3分
∵

PM

•

PF

=0，∴-x+

y2

4

=0，即y²=4x．
∴動點N的軌跡C的方程為y²=4x．…5分
（2）證明：設(shè)點Q（-1，t），
由于過點Q的直線y-t=k（x+1）與軌跡C：y²=4x相切，
聯(lián)立方程

y2=4x y-t=k(x+1)

，
整理得k²x²+2（k²+kt-2）x+（k+t）²=0．…7分
則△=4（k²+kt-2）²-4k²（k+t）²=0，
化簡得k²+tk-1=0．
由題意知k₁，k₂是關(guān)于k的方程k²+tk-1=0的兩個根，
∴k₁+k₂=-t．
又k0=-

t

2

，∴k₁+k₂=2k₀．
∴k₁+k₂=2k₀．…10分．

點評：本題考查點的軌跡方程的求法，考查斜率和相等的證明，解題時要認(rèn)真審題，注意根的判別式和韋達(dá)定理的合理運用．