Question

對于定義域為D的函數(shù)f（x），若存在區(qū)間M=[a，b]⊆D（a＜b），使得{y|y=f（x），x∈M}=M，則稱區(qū)間M為函數(shù)f（x）的“等值區(qū)間”．給出下列三個函數(shù)：
①f(x)=(

1

2

)x；   ②f（x）=x³；    ③f（x）=log₂x+1
則存在“等值區(qū)間”的函數(shù)的個數(shù)是

2

．

Answer 1

分析：根據(jù)“等值區(qū)間”的定義，要想說明函數(shù)存在“等值區(qū)間”，只要舉出一個符合定義的區(qū)間M即可，但要說明函數(shù)沒有“等值區(qū)間”，可以用反證明法來說明．由此對四個函數(shù)逐一進(jìn)行判斷，即可得到答案．

解答：解：①對于函數(shù)f(x)=(

1

2

)x，若存在“等值區(qū)間”[a，b]，由于函數(shù)是定義域內(nèi)的減函數(shù)，故有(

1

2

)b=a，(

1

2

)a=b，即（a，b），（b，a）點均在函數(shù)圖象上，且兩點關(guān)于y=x對稱，兩點只能同時是函數(shù)f(x)=(

1

2

)x，與函數(shù)y=log

1

2

x圖象的唯一交點．即只能是a=b，故①不存在“等值區(qū)間”．
②對于函數(shù)f（x）=x³存在“等值區(qū)間”，如 x∈[0，1]時，f（x）=x³∈[0，1]．
③對于 f（x）=log₂x+1，由于函數(shù)是定義域內(nèi)的增函數(shù)，故在區(qū)間[1，2]上有f（1）=1，f（2）=2，所以函數(shù)存在“等值區(qū)間”[1，2]．
存在“等值區(qū)間”的函數(shù)的個數(shù)是2個
故答案為：2

點評：本題給出函數(shù)“穩(wěn)定區(qū)間”的概念，要我們在幾個函數(shù)中找出存在“穩(wěn)定區(qū)間”函數(shù)的個數(shù)．著重考查了基本初等函數(shù)的圖象與性質(zhì)、函數(shù)的定義域與值域等知識，屬于中檔題．