Question

若a是實(shí)常數(shù)，函數(shù)f（x）對(duì)于任何的非零實(shí)數(shù)x都有，且f（1）=1，則函數(shù)F（x）=f（x）（x∈D={x|x∈R，x＞0，f（x）≥x}）的取值范圍是    ．

Answer 1

【答案】分析：利用題中函數(shù)等式，以代替x得，與原式聯(lián)解得到，結(jié)合f（1）=1解出f（x）=．由此得到不等式f（x）≥x即≥x，解之得x∈（0，1]，函數(shù)即為F（x）=f（x）的定義域D．最后利用基本不等式，求F（x）=，x∈（0，1]時(shí)的最小值，即可得到本題的取值范圍．
解答：解：∵函數(shù)f（x）滿足，（x≠0）
∴以代替x，得，
兩式聯(lián)解，得
∵f（1）=1，∴令x=1，得a²-1=a+1+a+1，解之得a=3或-1（-1不符合題意，舍去）
因此，f（x）=，不等式f（x）≥x即≥x
化簡(jiǎn)得5x²-4x-1≤0，解之得-≤x≤1
∴集合D={x|x∈R，x＞0，f（x）≥x}=（0，1]
而F（x）=f（x），即F（x）=，x∈（0，1]
∵x＞0，可得
∴F（x）=的最小值為，當(dāng)且僅當(dāng)，即x=時(shí)取最小值
綜上所述，F(xiàn)（x）=，x∈（0，1]的最小值是f（）=，沒(méi)有最大值．
∴函數(shù)F（x）=f（x）（x∈D}）的取值范圍是
故答案為：
點(diǎn)評(píng)：本題給出函數(shù)等式，在已知f（1）=1的情況下求函數(shù)的表達(dá)式，并依此求函數(shù)F（x）=f（x）在區(qū)間（0，1]上的值域．著重考查了函數(shù)解析式的求法、一元二次不等式的解法和利用基本不等式求最值等知識(shí)，屬于中檔題．