Question

每個(gè)正整數(shù)都可以表示成一個(gè)或者多個(gè)連續(xù)正整數(shù)的和．試對(duì)每個(gè)正整數(shù)n，求n有多少種不同的方法表示成這樣的和．

Answer 1

解析：設(shè)m為n的正的奇因數(shù)，m＝nd，則

若(1)的每一項(xiàng)都是正的，則它就是n的一種表示(表成連續(xù)正整數(shù)的和)．

若(1)式右邊有負(fù)數(shù)與0，則這些負(fù)數(shù)與它們的相反數(shù)抵消(因

以略去，這樣剩下的項(xiàng)是連續(xù)的正整數(shù)，仍然得到n的一種表示，其項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)(例如7＝(－2)＋(－1)＋0＋1＋2＋3＋4＝3＋4)

于是n的每一個(gè)正奇因數(shù)產(chǎn)生一個(gè)表示．

反過(guò)來(lái)，若n有一個(gè)表示，項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)m，則它就是(1)的形式，而m是n的奇因數(shù)，若n有一個(gè)表示，項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)，最小一項(xiàng)為k＋1，則可將這表示向負(fù)的方向“延長(zhǎng)”，增加2k＋1項(xiàng)，這些項(xiàng)中有0及±1，±2，…，±k．這樣仍成為(1)的形式，項(xiàng)數(shù)是n的奇因數(shù)．

因此，n的表示法正好是n的正奇因數(shù)的個(gè)數(shù)，如果n的標(biāo)準(zhǔn)分解