Question

已知α、β都是銳角，且sinβ=sinαcos（α+β）．
（1）當α+β=，求tanβ的值；
（2）當tanβ取最大值時，求tan（α+β）的值．

Answer 1

解：（1）∵α+β=，且sinβ=sinαcos（α+β）．
∴sinβ=sin（-β），整理得sinβ-cosβ=0，
∵β為銳角，
∴tanβ==．
（2）由題意，得sinβ=sinαcosαcosβ-sin²αsinβ，
兩邊都除以cosβ，得tanβ=sinαcosα-sin²αtanβ，
∴tanβ====
∵α是銳角，∴2tanα+≥=2
因此，tanβ=≤=．
當且僅當=2tanα時，取“=”號，
∴tanα=時，tanβ取得最大值，
由此可得，tan（α+β）==．
分析：（1）將α+β=代入已知等式，并且以-β代替α，化簡整理可得β的正弦和余弦的關系，利用同角三角函數(shù)的商數(shù)關系，可得tanβ的值；
（2）用兩角和的余弦公式將已知等式展開，再在兩邊都除以cosβ，得tanβ關于α的正弦和余弦的分式表達式，用同角三角函數(shù)的關系將此式化成并于tanα的表達式，最后用基本不等式求出tanβ取最大值，從而得到此時的tan（α+β）的值．
點評：本題給出α、β的正弦余弦的表達式，求β的正切最大值并求此時α+β的正切值，著重考查了兩角和與差的余弦、兩角和的正切公式和同角三角函數(shù)的關系等知識，屬于基礎題．