Question

4．過(guò)拋物線y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)F的直線與雙曲線x²-$\frac{{y}^{2}}{3}$=1的一條漸進(jìn)線平行，并交拋物線于A、B兩點(diǎn)，若|AF|＞|BF|，且|AF|=2，則拋物線的方程為y²=2x．

Answer 1

分析 根據(jù)拋物線的定義和雙曲線的定義，不妨設(shè)直線AB為y=$\sqrt{3}$（x-$\frac{p}{2}$），設(shè)A（x₀，y₀）得到|AF|=x₀+$\frac{p}{2}$，表示出x₀，y₀，代入到拋物線的解析式，求出p的值，需要驗(yàn)證．

解答 解：拋物線y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為（ $\frac{p}{2}$，0），準(zhǔn)線方程為x=-$\frac{p}{2}$，
雙曲線x²-$\frac{{y}^{2}}{3}$=1的漸近線方程為y=$\sqrt{3}$x，
由于過(guò)拋物線y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)F的直線與雙曲線x²-$\frac{{y}^{2}}{3}$=1的一條漸近線平行，
并交拋物線于A，B兩點(diǎn)，
不妨設(shè)直線AB為y=$\sqrt{3}$（x-$\frac{p}{2}$），設(shè)A（x₀，y₀），
∴|AF|=x₀+$\frac{p}{2}$，
∵|AF|＞|BF|，且|AF|=2，
∴x₀=2-$\frac{p}{2}$，x₀＞$\frac{p}{2}$，
∴0＜p＜2
∴y₀=$\sqrt{3}$（2-p），
∴3（2-p）²=2p（2-$\frac{p}{2}$），
整理得p²-4p+3=0，
解的p=1或p=3（舍去），
故拋物線的方程為y²=2x，
故答案為：y²=2x．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了直線和拋物線的關(guān)系，以及拋物線和雙曲線的定義和性質(zhì)，屬于中檔題．