Question

11．f（x）=x³+ax+$\frac{1}{x}$在（$\frac{1}{2}$，+∞）是增函數(shù)，求a取值范圍（　�。�

• A． （-$\frac{1}{2}$，+∞）
• B． [-$\frac{1}{2}$，+∞）
• C． [$\frac{13}{4}$，+∞）
• D． （$\frac{13}{4}$，+∞）

Answer 1

分析 求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，再由導(dǎo)函數(shù)在（$\frac{1}{2}$，+∞）上大于等于0恒成立，分離參數(shù)a可得a≥$\frac{1}{{x}^{2}}-3{x}^{2}$在（$\frac{1}{2}$，+∞）上恒成立．令g（x）=$\frac{1}{{x}^{2}}-3{x}^{2}$，利用導(dǎo)數(shù)求其范圍后可得a的取值范圍．

解答 解：由f（x）=x³+ax+$\frac{1}{x}$，得f′（x）=3x²+a-$\frac{1}{{x}^{2}}$，
∵f（x）=x³+ax+$\frac{1}{x}$在（$\frac{1}{2}$，+∞）是增函數(shù)，
∴f′（x）=3x²+a-$\frac{1}{{x}^{2}}$≥0在（$\frac{1}{2}$，+∞）上恒成立，
即a≥$\frac{1}{{x}^{2}}-3{x}^{2}$在（$\frac{1}{2}$，+∞）上恒成立．
令g（x）=$\frac{1}{{x}^{2}}-3{x}^{2}$，
則g′（x）=$\frac{-2-6{x}^{4}}{{x}^{3}}$＜0在（$\frac{1}{2}$，+∞）上恒成立．
∴g（x）在（$\frac{1}{2}$，+∞）上為減函數(shù)，
∴g（x）＜g（$\frac{1}{2}$）=$\frac{13}{4}$．
則a$≥\frac{13}{4}$．
∴a的取值范圍是[$\frac{13}{4}，+∞$）．
故選：C．

點(diǎn)評 本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，訓(xùn)練了原函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)函數(shù)符號間的關(guān)系的應(yīng)用，是中檔題．