Question

5．在用數(shù)學(xué)歸納法證明等式1+2+3+…+2n=2n²+n（n∈N^*）的第（ii）步中，假設(shè)n=k時(shí)原等式成立，那么在n=k+1時(shí)需要證明的等式為（　�。�

• A． 1+2+3+…+2k+2（k+1）=2k²+k+2（k+1）²+（k+1）
• B． 1+2+3+…+2k+2（k+1）=2（k+1）²+（k+1）
• C． 1+2+3+…+2k+2k+1+2（k+1）=2k²+k+2（k+1）²+（k+1）
• D． 1+2+3+…+2k+2k+1+2（k+1）=2（k+1）²+（k+1）

Answer 1

分析 由數(shù)學(xué)歸納法可知n=k時(shí)，1+2+3+…+2k=2k²+k，到n=k+1時(shí)，左端為1+2+3+…+2k+2k+1+2（k+1），從而可得答案．

解答 解：∵用數(shù)學(xué)歸納法證明等式1+2+3+…+2n=2n²+n時(shí)，
當(dāng)n=1左邊所得的項(xiàng)是1+2；
假設(shè)n=k時(shí)，命題成立，1+2+3+…+2k=2k²+k，
則當(dāng)n=k+1時(shí)，左端為1+2+3+…+2k+2k+1+2（k+1），
∴從“k→k+1”需增添的項(xiàng)是2k+1+2（k+1），
∴1+2+3+…+2k+2k+1+2（k+1）=2（k+1）²+（k+1）．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)學(xué)歸納法，著重考查理解與觀察能力，考查推理證明的能力，屬于中檔題．