Question

【題目】已知橢圓C： （a＞b＞0）左、右焦點分別為F1 ， F2 ， A（2，0）是橢圓的右頂點，過F2且垂直于x軸的直線交橢圓于P，Q兩點，且|PQ|=3；
（1）求橢圓的方程；
（2）若直線l與橢圓交于兩點M，N（M，N不同于點A），若 =0， = ；
①求證：直線l過定點；并求出定點坐標；
②求直線AT的斜率的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）

解：由題意可知：a=2，

令x=c，代入橢圓方程，解得：y= ，則丨PQ丨= =3，

則b= ，

∴橢圓的標準方程為：

（2）

解：①當直線MN斜率不存在時，設(shè)lMN：x=m，

則 ，解得：y= ，則丨MN丨=2 ，

設(shè)直線MN與x軸交于點B，丨丨MB=丨AM丨即 =2﹣m，

∴m= 或m=2（舍），

∴直線lMN過定點（ ，0）；

當直線MN斜率存在時，設(shè)直線MN斜率為k，

設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），則直線MN：y=kx+b，

與橢圓方程 ，聯(lián)立，消取y整理得（4k2+3）x2+8kbx+4k2﹣12=0，

∴x1+x2=﹣ ，x1x2= ，

△＞0，k∈R，

=0，（x1﹣2，y1）（x2﹣2，y2）=0，

即x1x2﹣2（x1+x2）+4+y1y2=0，

y1y2=（kx1+b）（kx2+b）=k2x1x2+kb（x1+x2）+b2= ，

∴7b2+4k2+16kb=0，則b=﹣ k，或b=﹣2k，

∴l(xiāng)MN：y=k（x﹣ ）或y=k（x﹣2），

∴直線lMN過定點（ ，0）或（2，0）；

綜合知，直線過定點（ ，0）；

②T為MN中點，T（ ， ），則T（﹣ ， ），

∴kAT= = ，

由b=﹣ ，則kAT= ，

當k=0時，kAT=0，

當k≠0時，k∈R，kAT= = ，

由8k+ ≥2 =2 ，

或8k+ ≤﹣2 =﹣2 ，

∴kAT∈[﹣ ， ]，

直線AT的斜率的取值范圍為[﹣ ， ]

【解析】（1）由a=2，則橢圓的通徑丨PQ丨= ，代入即可求得b的值，即可取得橢圓的方程；（2）當直線MN斜率不存在時，將x=m代入橢圓方程，則 =2﹣m，即可求得m的值，即可求得直線恒過定點；當斜率存在，設(shè)直線方程y=kx+b，代入橢圓方程，由韋達定理，向量的坐標運算，即可求得b=﹣ k，或b=﹣2k，即可求得直線方程，則直線過定點（ ，0）；（3）利用中點坐標公式求得T坐標，利用直線的斜率公式，kAT= = ，分類當k=0，kAT=0，當k≠0時，利用基本不等式的性質(zhì)，即可求得直線AT的斜率的取值范圍．
【考點精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解橢圓的標準方程的相關(guān)知識，掌握橢圓標準方程焦點在x軸：，焦點在y軸：．