已知f(x)=
2x-12x+1

(1)討論f(x)的奇偶性;
(2)討論f(x)的單調(diào)性.
分析:(1)根據(jù)奇偶性的定義,將函數(shù)f(-x)化簡整理,可得f(-x)=-f(x),所以f(x)在其定義域上是奇函數(shù);
(2)利用函數(shù)單調(diào)性的定義,取x1、x2∈R,且x1<x2,通過作差因式分解,得到f(x1)<f(x2),所以f(x)是R上的增函數(shù).
解答:解:(1)f(x)的定義域為R
∵f(-x)=
2-x-1
2-x+1
=
1-2x
1+2x
=-
2x-1
2x+1
=-f(x)
∴f(x)是奇函數(shù)…(6分)
(2)任取x1、x2∈R,且x1<x2,則
f(x1)-f(x2)=
2x1-1
2x1+1
-
2x2-1
2x2+1
=
2(2x1-2x2)
(2x1+1)(2x2+1)

∵x1<x2,可得2x12x2,且2x1+1>0,2x2+1>0
∴f(x1)-f(x2)<0,可得f(x1)<f(x2
所以函數(shù)f(x)=
2x-1
2x+1
是(-∞,+∞)上的增函數(shù).
點評:本題給出含有指數(shù)式的分式函數(shù),討論函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性,著重考查了函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性的定義、基本初等函數(shù)性質(zhì)等知識,屬于中檔題.
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x
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