Question

7．已知拋物線C：y²=4x及支線l：x-y+4=0，P是拋物線C上的動(dòng)點(diǎn)，記P到y(tǒng)軸的距離為d₁，p到l的距離為d₂，則d₁+d₂的最小值為$\frac{5\sqrt{2}}{2}$-1．

Answer 1

分析 連接PF，過(guò)點(diǎn)P作PA⊥l于點(diǎn)A，作PB⊥y軸于點(diǎn)B，PB的延長(zhǎng)線交準(zhǔn)線x=-1于點(diǎn)C．由拋物線的定義，得到d₁+d₂=（PA+PF）-1，再由平面幾何知識(shí)可得當(dāng)P、A、F三點(diǎn)共線時(shí)，PA+PF有最小值，因此算出F到直線l的距離，即可得到d₁+d₂的最小值．

解答 解：如圖，過(guò)點(diǎn)P作PA⊥l于點(diǎn)A，作PB⊥y軸于點(diǎn)B，PB的延長(zhǎng)線交準(zhǔn)線x=-1于點(diǎn)C，
連接PF，根據(jù)拋物線的定義得PA+PC=PA+PF，
∵P到y(tǒng)軸的距離為d₁，P到直線l的距離為d₂，
∴d₁+d₂=PA+PB=（PA+PC）-1=（PA+PF）-1，
根據(jù)平面幾何知識(shí)，可得當(dāng)P、A、F三點(diǎn)共線時(shí)，PA+PF有最小值，
∴F（1，0）到直線l：x-y+4=0的距離為點(diǎn)P到準(zhǔn)線的距離等于$\frac{|1-0+4|}{\sqrt{2}}$=$\frac{5\sqrt{2}}{2}$，
∴PA+PF的最小值是$\frac{5\sqrt{2}}{2}$，
由此可得d₁+d₂的最小值為$\frac{5\sqrt{2}}{2}$-1，
故答案為：$\frac{5\sqrt{2}}{2}$-1．

點(diǎn)評(píng) 本題給出拋物線和直線l，求拋物線上一點(diǎn)P到y(tǒng)軸距離與直線l距離之和的最小值，著重考查了點(diǎn)到直線的距離公式、拋物線的定義和簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)等知識(shí)，屬于中檔題．