Question

已知橢圓C：（a＞b＞0）．
（1）設(shè)橢圓的半焦距c=1，且a²，b²，c²成等差數(shù)列，求橢圓C的方程；
（2）對(duì)（1）中的橢圓C，直線y=x+1與C交于P、Q兩點(diǎn)，求|PQ|的值；
（3）設(shè)B為橢圓C：（a＞b＞0）的短軸的一個(gè)端點(diǎn)，F(xiàn)為橢圓C的一個(gè)焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，記∠BFO=θ．當(dāng)橢圓C同時(shí)滿(mǎn)足下列兩個(gè)條件：①；②a²+b²=2a²b²．求橢圓長(zhǎng)軸的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）直接根據(jù)條件列出關(guān)于a²，b²，c²的方程，求出a²，b²，c²即可得到橢圓方程；
（2）把直線方程與橢圓方程聯(lián)立得到關(guān)于P、Q兩點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系，再結(jié)合兩點(diǎn)間的距離公式即可求|PQ|的值；
（3）先根據(jù)①知，再結(jié)合②整理去掉b即可求出橢圓長(zhǎng)軸的取值范圍（注意長(zhǎng)軸的長(zhǎng)是指2a）．
解答：（本題滿(mǎn)分（16分），第1題（4分），第2題（6分），第3題6分）
解：（1）由已知，a²=b²+1，且2b²=a²+1，…（2分）
解得a²=3，b²=2，所以橢圓C的方程是．…（4分）
（2）將y=x+1代入橢圓C的方程，得，化簡(jiǎn)得，5x²+6x-3=0，
設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），則，，…（6分）
所以，|PQ|²=（x₁-x₂）²+（y₁-y₂）²=2（x₁-x₂）²=2[（x₁+x₂）²-4x₁x₂]=，
所以．…（10分）
（3）由①知，，即，…（11分）
由②得，，而，即，…（13分）
解得，…（15分）
所以，橢圓長(zhǎng)軸的取值范圍是．…（16分）
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查圓錐曲線與數(shù)列，兩點(diǎn)間距離公式以及解析幾何的綜合．