Question

2．在橢圓$\frac{y^2}{45}+\frac{x^2}{20}=1$上求一點(diǎn)P，使它到原點(diǎn)的距離為5，并求三角形F₁PF₂的面積．

Answer 1

分析 方法一：設(shè)橢圓參數(shù)方程，由題意兩點(diǎn)之間的距離公式，即可求得P點(diǎn)坐標(biāo)，利用三角形的面積公式三角形F₁PF₂的面積；
方法二：設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)之間的距離公式與橢圓的方程，求得P點(diǎn)坐標(biāo)，利用三角形的面積公式三角形F₁PF₂的面積．

解答 解：方法一：設(shè)P（2$\sqrt{5}$cosθ，3$\sqrt{5}$sinθ），由題意可知：（3$\sqrt{5}$sinθ）²+（2$\sqrt{5}$cosθ）²=25，解得：sinθ=±$\frac{\sqrt{5}}{5}$，cosθ=±$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∴P（±4，±3），即P（4，3），（-4，3），（4，-3），（-4，-3）
橢圓$\frac{y^2}{45}+\frac{x^2}{20}=1$焦點(diǎn)坐標(biāo)F₁（0，-5），F(xiàn)₂（0，5），
設(shè)P（4，3），P到y(tǒng)軸的距離d=4
三角形F₁PF₂的面積S=$\frac{1}{2}$×丨F₁F₂丨×d=20，
∴三角形F₁PF₂的面積20．

方法二：設(shè)P（x，y），則$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+{y}^{2}=25}\\{\frac{{y}^{2}}{45}+\frac{{x}^{2}}{20}=1}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=±4}\\{y=±3}\end{array}\right.$，
∴P（±4，±3），即P（4，3），（-4，3），（4，-3），（-4，-3）
橢圓$\frac{y^2}{45}+\frac{x^2}{20}=1$焦點(diǎn)坐標(biāo)F₁（0，-5），F(xiàn)₂（0，5），
設(shè)P（4，3），P到y(tǒng)軸的距離d=4
三角形F₁PF₂的面積S=$\frac{1}{2}$×丨F₁F₂丨×d=20，
∴三角形F₁PF₂的面積20．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的參數(shù)方程，考查橢圓簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，考查三角形的面積公式，屬于中檔題．