Question

（理）f（x）是R上的以2為周期的奇函數(shù)，已知x∈（0，1）時(shí)，f(x)=log3

1

1-x

，則f（x）在（1，2）上是（　　）

A．增函數(shù)且f（x）＞0

B．減函數(shù)且f（x）＞0

C．減函數(shù)且f（x）＜0

D．增函數(shù)且f（x）＜0

Answer 1

分析：欲求f（x）在區(qū)間（1，2）上的性質(zhì)，可先求出f（x）的解析式，然后根據(jù)函數(shù)解析式研究其性質(zhì)即可選出正確選項(xiàng)．

解答：解：設(shè)-1＜x＜0，則0＜-x＜1，∴f（-x）=log₃

1

1-x

，
又f（x）=-f（x），∴f（x）=log₃（1+x），
∴1＜x＜2時(shí)，-1＜x-2＜0，
∴f（x）=f（x-2）=log₃（x-1）．
∴f（x）在區(qū)間（1，2）上是增函數(shù)，且f（x）＜0．
故選D．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了函數(shù)的奇偶性，以及已知奇函數(shù)的一側(cè)的解析式，可以求出其關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的另一側(cè)的解析式，這是奇函數(shù)的一個(gè)重要應(yīng)用，屬于中檔題．