Question

設函數(shù).

（1）求的單調(diào)區(qū)間和極值；

（2）若，當時，在區(qū)間內(nèi)存在極值，求整數(shù)的值.

 

Answer 1

（1）詳見解析；（2）.

【解析】

試題分析：（1）此問為導數(shù)的基礎題型，先求，令，求極值點，然后解與，列出的變化表格，從而很容易確定單調(diào)區(qū)間，以及極值;

（2）代入得到,先求,從無法確定函數(shù)的極值點，所以求其二階導數(shù)，令， ，當時，恒成立，在為單調(diào)遞減函數(shù)，那么的值為極值點，因為是正整數(shù)，所以從開始判定符號，,,即為極值點的區(qū)間.

（1）令，解得，

根據(jù)的變化情況列出表格:

	(0,1)	1
	+	0	_
	遞增	極大值	遞減

 

由上表可知函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為（0,1），遞減區(qū)間為，

在處取得極大值，無極小值.. 5分

（2）,,

令， ，

因為恒成立，所以在為單調(diào)遞減函數(shù)，

因為

所以在區(qū)間上有零點 ,且函數(shù)在區(qū)間和上單調(diào)性相反，

因此，當時，在區(qū)間內(nèi)存在極值.所以. 12分

考點：1.根據(jù)導數(shù)求函數(shù)的極值點；2.根據(jù)導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.