Question

（2012•密云縣一模）給出定義：若m-

1

2

＜x≤m+

1

2

（其中m為整數(shù)），則m叫做離實數(shù)x最近的整數(shù)，記作{x}=m．在此基礎(chǔ)上給出下列關(guān)于函數(shù)f（x）=|x-{x}|的四個命題：
①函數(shù)y=f（x）的定義域為R，值域為[0，

1

2

]；
②函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于直線x=

k

2

（k∈Z）對稱；
③函數(shù)y=f（x）是周期函數(shù)，最小正周期為1；
④函數(shù)y=f（x）在[-

1

2

，

1

2

]上是增函數(shù)．
其中正確的命題的個數(shù)為（　�。�

A．1

B．2

C．3

D．4

Answer 1

分析：根據(jù)所給定義及函數(shù)的性質(zhì)：奇偶性、周期性和單調(diào)性的定義，再結(jié)合條件和命題進(jìn)行解答．

解答：解：結(jié)合周期函數(shù)的性質(zhì)：f（x+1）=|（x+1）-{x+1}|=|x-{x}|=f（x），則周期為1，
得函數(shù)y=f（x）的定義域為R，值域為[0，

1

2

]，所以①正確；
由題意得，f（k-x）=|（k-x）-{k-x}|=|（-x）-{-x}|=f（-x），
∴函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于直線x=0對稱，所以函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于直線x=

k

2

（k∈Z）對稱，②正確；
∵f（x+1）=|（x+1）-{x+1}|=|x-{x}|=f（x），∴周期為1，故③正確；
當(dāng)m=0時，f（x）=|x|，值域為值域為[0，

1

2

]，函數(shù)在[-

1

2

，0]單調(diào)遞減，函數(shù)在[0，

1

2

]單調(diào)遞增，
因此④不正確；
故選C．

點評：本題是一道以函數(shù)為背景的信息題，主要考查利用信息分析問題和解決問題的能力、函以及數(shù)的重要性質(zhì)：奇偶性、周期性和單調(diào)性的應(yīng)用，難度較大．