Question

已知球的直徑SC=4，A，B是該球球面上的兩點，∠ASC=∠BSC=30°，且AB=2，則三棱錐S-ABC的體積為（　�。�

• A、

  2 3

  3

• B、

  2 2

  3

• C、

  4 3

  3

• D、

  4 2

  3

Answer 1

考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積,球內(nèi)接多面體

專題：空間位置關系與距離

分析：由已知得∠SAC=∠SBC=90°，∠SCA=∠SCB=60°，AC=BC=2，SA=SB=2

3

，取AB中點D，CD=

4-1

=

3

，S_△ABC=

1

2

×2×

3

=

3

，SD=

12-1

=

11

，由余弦定理求出cos∠SCD=

3

3

，從而得到sin∠SCD=

6

3

，進而得到S到平面ABC的距離h=SC•sin∠SCD=

4 6

3

，由此能求出三棱錐S-ABC的體積．

解答： 解：如圖，∵球的直徑SC=4，A，B是該球球面上的兩點，
∠ASC=∠BSC=30°，且AB=2，
∴∠SAC=∠SBC=90°，∠SCA=∠SCB=60°，
∴AC=BC=2，SA=SB=2

3

，取AB中點D，CD=

4-1

=

3

，
S_△ABC=

1

2

×2×

3

=

3

，
∵SA=SB，D為AB中點，∴SD⊥AB，
SD=

12-1

=

11

，
∴cos∠SCD=

SC2+CD2-SD2

2SC•CD

=

16+3-11

2×4× 3

=

3

3

，
sin∠SCD=

1-( 3 3 )2

=

6

3

，
∴S到平面ABC的距離h=SC•sin∠SCD=

4 6

3

，
∴三棱錐S-ABC的體積V=

1

3

×

4 6

3

×

3

=

4 2

3

．
故選：D．

點評：本題考查三棱錐體積的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．