Question

如圖，以原點(diǎn)O為頂點(diǎn)，以y軸為對(duì)稱軸的拋物線E的焦點(diǎn)為F(0，1)，點(diǎn)M是直線l：y=m(m＜0)上任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M引拋物線E的兩條切線分別交x軸于點(diǎn)S，T，切點(diǎn)分別為B，A．
(Ⅰ)求拋物線E的方程；
(Ⅱ)求證：點(diǎn)S，T在以FM為直徑的圓上；
(Ⅲ)當(dāng)點(diǎn)M在直線l上移動(dòng)時(shí)，直線AB恒過(guò)焦點(diǎn)F，求m的值．

Answer 1

解：(Ⅰ)設(shè)拋物線E的方程為，依題意，解得：p=2，
所以拋物線E的方程為。
(Ⅱ)設(shè)點(diǎn)，，否則切線不過(guò)點(diǎn)M，
∵，
∴切線AM的斜率，方程為，其中，
令y=0，得，點(diǎn)T的坐標(biāo)為，
∴直線FT的斜率，
∵，
∴AM⊥FT，即點(diǎn)T在以FM為直徑的圓上；同理可證點(diǎn)S在以FM為直徑的圓上，
所以S，T在以FM為直徑的圓上。
(Ⅲ)拋物線x²=4y焦點(diǎn)F(0，1)，
可設(shè)直線AB：y=kx+1，
由，得，則，
由(Ⅱ)切線AM的方程為過(guò)點(diǎn)M（x₀，m），
得，
同理，
消去x₀，得，
∵，由上，
∴，即m的值為-1。