已知拋物線C：，F(xiàn)為拋物線C的焦點，O為坐標(biāo)原點，則在拋物線C上且滿足△OFP為等腰直角三角形的點P的個數(shù)為（ ）
A．2
B．4
C．2或4
D．P點不存在
【答案】分析：首先求出F點坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程，然后分情況討論（1）如果∠POF=90°，此時P在Y軸上，舍去；（2）若∠OPF=90°，能夠得出斜邊為OF=8，PF=4，再根據(jù)拋物線定義得出p的橫坐標(biāo)小于零，舍去；（3）若∠OFP=90，能夠得出PF=OF=8，再利用焦點弦求出p的橫坐標(biāo)為零，與O點重合，舍去；從而得出答案．
解答：解：根據(jù)拋物線可知F（8，0），準(zhǔn)線X=-8
（1）如果∠POF=90°，這是不可能的，因為此時P在Y軸上，所以舍去
（2）若∠OPF=90°那么此時等腰直角三角形的斜邊為OF=8
所以此時PF=4
PF=d【d為P到準(zhǔn)線的距離】，設(shè)P（x，y）
那么：d=x+8
x=4-8＜0
所以此時P在第二象限，不在拋物線上，舍去此種情況
（3）若∠OFP=90°那么此時OF為等腰直角三角形的直角邊，OF=8   那么PF=OF=8
還是用焦點弦的性質(zhì)：PF=8=d=x+8     x=0
此時P與O重合，所以構(gòu)不成三角形，也舍去此種情況
所以，綜上所訴：不存在一點P滿足題意．
故選D．
點評：本題考查了拋物線的簡單性質(zhì)，要注意分類討論，屬于難題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在平面直角坐標(biāo)系中，以原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知拋物線C的極坐標(biāo)方程為ρcos2θ=4sinθ（ρ≥0），直線l的參數(shù)方程為
x=
3
t
y=1+t
（t為參數(shù)），設(shè)直線l與拋物線C的兩交點為A、B，點F為拋物線C的焦點，則|AF|+|BF|=
16
3
16
3
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知拋物線C以原點O為頂點，其準(zhǔn)線方程為x=-1，焦點為F．
①求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
②過點P（-1，0）的直線l與拋物線C相交于A、B兩點．
（�。┳C明：
OA
•
OB
為定值；
（ⅱ）點A關(guān)于x軸的對稱點為D，證明：點F在直線BD上．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（30分）如圖，已知拋物線C：，F(xiàn)為C的焦點，l為準(zhǔn)線，且l交x軸于E點，過點F任意作一條直線交拋物線C于A、B兩點。

（1）若，求證：；

（2）設(shè)M為線段AB的中點，P為奇素數(shù)，且點M到x軸的距離和點M到準(zhǔn)線l的距離均為非零整數(shù)，求證：點M到坐標(biāo)原點O的距離不可能是整數(shù)。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：單選題

已知拋物線C：數(shù)學(xué)公式，F(xiàn)為拋物線C的焦點，O為坐標(biāo)原點，則在拋物線C上且滿足△OFP為等腰直角三角形的點P的個數(shù)為


  1. A.
    2
  2. B.
    4
  3. C.
    2或4
  4. D.
    P點不存在

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