Question

已知直線L₁：2x-y-4=0與拋物線C₁：y²=4x交于A、B兩點，又C₂是頂點在原點，對稱軸為x軸，且開口向左的拋物線，L₂是過C₂的焦點F的直線，并且與C₂交于C、D兩點，若ABCD成平行四邊形，求L₁與L₂的距離．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：向量與圓錐曲線

分析：聯(lián)立直線L₁與拋物線C₁，求出A，B的坐標，得到直線AB的斜率及距離，設出C₂的方程，求出L₂的方程，聯(lián)立后利用根與系數(shù)的關(guān)系得到C，D兩點的橫坐標的和與積，利用弦長公式求得p的值，得到L₂的方程，代入兩平行線間的距離公式得答案．

解答： 解：由

2x-y-4=0 y2=4x

，得x²-5x+4=0．
解得：x₁=1，x₂=4，
分別代入2x-y-4=0，得y₁=-2，y₂=4．
∴A（1，-2），B（4，4）．
則kAB=

4-(-2)

4-1

=2，|

AB

|=

(4-1)2+(4+2)2

=3

5

．
設拋物線C₂的方程為y²=-2px（p＞0），
則L₂的方程為y=2(x+

p

2

)．
聯(lián)立

y=2x+p y2=-2px

，得：4x²+6px+p²=0．
設C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），
則x1+x2=-

3p

2

，x1x2=

p2

4

，
∴|CD|=

1+22

(x1+x2)2-4x1x2

=

5

9 4 p2-4• p2 4

=

5

2

p=3

5

．
解得：p=

6 5

5

．
則L₂的方程為：y=2x+

6 5

5

．即2x-y+

6 5

5

=0．
∴L₁與L₂的距離為

| 6 5 5 +4|

22+(-1)2

=

6+4 5

5

．

點評：本題考查了直線與拋物線的關(guān)系，考查了弦長公式的用法，涉及直線與圓錐曲線關(guān)系問題，常利用直線與曲線聯(lián)立，根據(jù)方程的根與系數(shù)的關(guān)系求解，這是處理這類問題的最為常用的方法，但圓錐曲線的特點是計算量比較大，要求考生具備較強的運算推理的能力，是壓軸題．