Question

如圖，三棱錐P-ABC中，PB⊥底面ABC于B，∠BCA=90°，PB=BC=CA=，點E，F(xiàn)分別是PC，PA的中點，求二面角A-BE-F的余弦值．

Answer 1

解：如圖，以BP所在直線為z軸，
BC所在直線y軸，建立空間直角坐標系，
則，
∵PB⊥平面ABC，∴PB⊥AC，
又AC⊥CB，∴AC⊥平面PBC，
∴AC⊥PC，∴EF⊥PC，
又BE⊥PC，∴PC⊥平面BEF．
而，
所以平面BEF的一個法向量，（4分）
設平面ABE的一個法向量，
則，則x：y：z=1：-1：1
取x=1，則平面AEF的一個法向量（8分）
∴，
∴二面角A-BE-F的平面角的余弦值為（10分）
分析：以BP所在直線為z軸，BC所在直線y軸，建立空間直角坐標系，求出平面BEF的一個法向量，
平面ABE的一個法向量，利用求出二面角A-BE-F的余弦值．
點評：本題考查空間線面關系、二面角的度量，考查數(shù)形結合、化歸與轉化的數(shù)學思想方法，以及空間想象能力、推理論證能力和運算求解能力．