在長方體AC1中,AA1=AD=2,AB=4,M、N分別是AB與BC的中點,則直線A1M與C1N的位置關(guān)系是
相交
相交
; 它們所成角的大小是
arccos
10
5
arccos
10
5
;點A到對角線B1D的距離是
30
3
30
3
分析:①連接A1C1,MN,由題意可得:MN∥A1C1,并且MN=
1
2
A1C1,進而得到直線A1M與C1N相交.
②取A1B1,B1C1的中點分別為E,F(xiàn),連接BE,NF,可得BE∥A1M,BF∥C1N,所以∠EBF與所求角相等或者互補,再利用解三角形的有關(guān)知識求出答案.
③設(shè)點A到對角線B1D的距離是 h,根據(jù)長方體的結(jié)構(gòu)特征可得:AB1⊥AD,可得△AB1D為直角三角形,進而根據(jù)等面積法可得答案.
解答:解:長方體如圖所示:

①連接A1C1,MN,
因為在長方體AC1中,M、N分別是AB與BC的中點,
所以MN∥A1C1,并且MN=
1
2
A1C1,
所以直線A1M與C1N相交,
所以直線A1M與C1N的位置關(guān)系是:相交.
②取A1B1,B1C1的中點分別為E,F(xiàn),連接BE,NF,
因為M,E分別為AB,A1B1的中點,
所以BE∥A1M,同理BF∥C1N,
所以∠EBF與所求角相等或者互補.
因為在長方體AC1中,AA1=AD=2,AB=4,
所以在△BEF中有:BE=2
2
,BF=
5
,EF=
5
,
所以cos∠EBF=
10
5
,
所以直線A1M與C1N所成角的大小是arccos
10
5

③設(shè)點A到對角線B1D的距離是 h,
根據(jù)長方體的結(jié)構(gòu)特征可得:AB1⊥AD,
所以△AB1D為直角三角形,并且AD=2,AB1=2
5
,B1D=2
6
,
所以根據(jù)等面積法可得:h=
AD•AB1
B1D
=
30
3

故答案為:相交;arccos
10
5
;
30
3
點評:解決此類問題的關(guān)鍵是熟練掌握長方體的結(jié)構(gòu)特征與空間中點、線、面得位置關(guān)系的判定,以及求空間角(平移法)與空間距離(等積法)的方法,也可以距離空間直角坐標系,利用空間向量的有關(guān)運算求空間角與空間距離,以及判斷線面的位置關(guān)系.
練習冊系列答案
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如圖,在長方體AC1中,AB=BC=2,AA1=
2
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  1. A.
    1
  2. B.
    2
  3. C.
    3
  4. D.
    4

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如圖,在長方體AC1中,AB=BC=2,,E,F(xiàn)分別是面A1C1.面BC1的中心,則AF和BE所成的角為( )

A.45°
B.30°
C.60°
D.90°

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