Question

【題目】設M={x| }，N={x|x2+（a﹣8）x﹣8a≤0}，命題p：x∈M，命題q：x∈N．
（1）當a=﹣6時，試判斷命題p是命題q的什么條件；
（2）求a的取值范圍，使命題p是命題q的一個必要但不充分條件．

Answer 1

【答案】
（1）解： M={x| }={x|x＜﹣3或x＞5}，

當a=﹣6時，N={x|x2+（a﹣8）x﹣8a≤0}={x|x2﹣14x+48≤0}={x|6≤x≤8}，

∵命題p：x∈M，命題q：x∈N，

∴qp，p推不出q，

∴命題p是命題q的必要不充分條件．

（2）解：∵M={x|x＜﹣3或x＞5}，N={x|（x﹣8）（x+a）≤0}，

命題p是命題q的必要不充分條件，

當﹣a＞8，即a＜﹣8時，N={x|8＜x＜﹣a}，此時命題成立；

當﹣a=8，即a=﹣8時，N={8}，命題成立；

當﹣a＜8，即a＞﹣8時，此時N={﹣a＜x＜8}，故有﹣a＞5，解得a＜﹣5，

綜上所述，a的取值范圍是{a|a＜﹣5}

【解析】（1）解分式不等式求出M={x|x＜﹣3或x＞5}，當a=﹣6時，解一元二次不等式求出N={x|6≤x≤8}，由此能夠得到命題p是命題q的必要不充分條件．（2）由M={x|x＜﹣3或x＞5}，N={x|（x﹣8）（x+a）≤0}，命題p是命題q的必要不充分條件，分類討論能夠求出a的取值范圍．