已知斜三棱柱,,,在底面上的射影恰為的中點(diǎn),又知.

 

 

(Ⅰ)求證：平面；    

(Ⅱ)求到平面的距離；

(Ⅲ)求二面角的大小。

 

【答案】

解法：(Ⅰ)∵平面,∴平面平面,

又,∴平面, 得,又,

∴平面.…………………4分

(Ⅱ)∵,四邊形為菱形,故,

又為中點(diǎn),知∴.取中點(diǎn),則

平面,從而面面,…………6分

過作于,則面,在中,,故,即到平面的距離為.…………………8分

(Ⅲ)過作于,連,則,從而為二面角的平面角,在中,,∴,…………10分

在中,,故二面角的大小為.

…………………12分

   解法：(Ⅰ)如圖,取的中點(diǎn),則,∵,∴,

又平面,以為軸建立空間坐標(biāo)系, …………1分

 

 

則,,,,,,

,,由,知,

又,從而平面.…………………4分

(Ⅱ)由,得.設(shè)平面的法向量

為,,,,

設(shè),則.…………6分

∴點(diǎn)到平面的距離.…………………8分

(Ⅲ)設(shè)面的法向量為,,,

∴.…………10分

設(shè),則,故,根據(jù)法向量的方向

可知二面角的大小為.…………………12分

【解析】略

 

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)已知斜三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BCA=90°，AC=BC=2，A1在底面ABC上的射影恰為AC的中點(diǎn)D，又知BA1⊥AC1．
（Ⅰ）求證：AC1⊥平面A1BC；
（Ⅱ）求C1到平面A1AB的距離；
（Ⅲ）求二面角A-A1B-C的余弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，已知斜三棱柱ABC-A1B1C1的各棱長(zhǎng)均為2，側(cè)棱與底面所成的角為
π3
，頂點(diǎn)B1在底面ABC上的射影D在AB上．
（1）求證：側(cè)面ABB1A1⊥底面ABC；
（2）證明：B1C⊥AB；
（3）求二面角B1-BC-A的正切值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知斜三棱柱ABC-A′B′C′，設(shè)
AB
=
a
，
AC
=
b
，
AA′
=
c
，在面對(duì)角線AC′和棱BC上分別取點(diǎn)M、N，使
AM
=k
AC′
，
BN
=k
BC
（0≤k≤1），求證：三向量
MN
、
a
、
c
共面．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，已知斜三棱柱ABC-A1B1C1，∠BCA=90°AC=BC=a，A1在底面ABC上的射影恰為AC的中點(diǎn)D，又A1B⊥AC1．
（Ⅰ）求證：BC⊥平面ACC1A1；
（Ⅱ）求AA1與平面ABC所成的角；
（Ⅲ）求二面角B-AA1-C的正切值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知斜三棱柱ABC-A1B1C1的各棱長(zhǎng)均為2，側(cè)棱BB1與底面ABC所成角為
π3
，且側(cè)面ABB1A1⊥底面ABC．
（1）證明：點(diǎn)B1在平面ABC上的射影O為AB的中點(diǎn)；
（2）求二面角C-AB1-B的大��；
（3）求點(diǎn)C1到平面CB1A的距離．

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