Question

在等差數(shù)列{a_n}中，公差d≠0，a₂是a₁與a₄的等比中項，已知數(shù)列a₁，a₃，ak1，ak2，…，akn，…成等比數(shù)列，求數(shù)列{k_n}的通項k_n．

Answer 1

分析：由已知a₂是a₁與a₄的等比中項，我們可構造一個關于數(shù)列基本量（首項與公差）的方程，解方程可以找到首項與公差的關系，又由a₁，a₃，ak1，ak2，…，akn，…成等比數(shù)列，則我們可以得到該數(shù)列的公比，進而給出該數(shù)列的通項公式，進一步給出數(shù)列{k_n}的通項k_n．

解答：解：由題意得：a₂²=a₁a₄
即（a₁+d）²=a₁（a₁+3d）
又d≠0，∴a₁=d
又a₁，a₃，ak1，ak2，，akn，成等比數(shù)列，
∴該數(shù)列的公比為q=

a3

a1

=

3d

d

=3，
所以akn=a1•3n+1
又akn=a1+(kn-1)d=kna1
∴k_n=3ⁿ⁺¹
所以數(shù)列{k_n}的通項為k_n=3ⁿ⁺¹

點評：在求一個數(shù)列的通項公式時，如果可以證明這個數(shù)列為等差數(shù)列，或等比數(shù)列，則可以求出其基本項（首項與公差或公比）進而根據(jù)等差或等比數(shù)列的通項公式，寫出該數(shù)列的通項公式，如果未知這個數(shù)列的類型，則可以判斷它是否與某個等差或等比數(shù)列有關，間接求其通項公式．