已知向量
m
=（sinx，-1），
n
=（cosx，
3
2
），f（x）=（
m
+
n
）•
m
．
（1）當(dāng)x∈[0，
π
2
]時(shí)，求函數(shù)y=f（x）的值域；
（2）銳角△ABC中，a，b，c分別為角A，B，C的對(duì)邊，若5a=4
2
c，b=7
2
，f（
B
2
）=
3
2
10
，求邊a，c．
分析：（1）由向量和三角函數(shù)的運(yùn)算可得f（x）的解析式，由x的范圍可得函數(shù)的值域；
（2）由（1）可得sinB-cosB=
3
2
5
，聯(lián)立sin2B+cos2B=1，解之可得cosB，在△ABC中由余弦定理和已知可得關(guān)于ac的方程組，解之可得．
解答：解：（1）∵
m
=（sinx，-1），
n
=（cosx，
3
2
），
∴
m
+
n
=（sinx+cosx，
1
2
），
∴f（x）=（
m
+
n
）•
m
=（sinx+cosx）sinx-
1
2

=sin2x+cosxsinx-
1
2
=
1-cos2x
2
+
1
2
sin2x-
1
2

=
1
2
（sin2x-cos2x）=
2
2
sin（2x-
π
4
），
∵x∈[0，
π
2
]，∴2x-
π
4
∈[-
π
4
，
3π
4
]，
∴sin（2x-
π
4
）∈[-
2
2
，1]，
∴f（x）=
2
2
sin（2x-
π
4
）∈[-
1
2
，
2
2
]；
（2）由題意可得f（
B
2
）=
1
2
（sinB-cosB）=
3
2
10
，
化簡(jiǎn)可得sinB-cosB=
3
2
5
，聯(lián)立sin2B+cos2B=1，
解之可得
sinB=
7
2
10
cosB=
2
10
，（B為銳角）
在△ABC中由余弦定理可得b2=a2+c2-2accosB
代入數(shù)據(jù)可得98=a2+c2-
2
5
ac，聯(lián)立5a=4
2
c，
可解得a=8，c=5
2
點(diǎn)評(píng)：本題考查平面向量數(shù)量積的運(yùn)算，涉及三角形的正余弦定理的應(yīng)用，屬中檔題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知向量
m
=（sinθ，2cosθ），
n
=（
3
，-
1
2
）
（Ⅰ）當(dāng)θ∈[0，π]時(shí)，求函數(shù)f（θ）=
m
×
n
的值域；
（Ⅱ）若
m
∥
n
，求sin2θ的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知向量
m
=（sin（A-B），sin(
π
2
-A)），
n
=（1，2sinB），且
m
•
n
=-sin2C，其中A、B、C分別為△ABC的三邊a、b、c所對(duì)的角．
（Ⅰ）求角C的大�。�
（Ⅱ）若sinA+sinB=
3
2
sinC，且S△ABC=
3
，求邊c的長(zhǎng)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知向量m=（sinωx，cosωx），n=（cosωx，
3
cosωx）且0＜ω＜2，函數(shù)f（x）=m•n，且f（
π
3
）=
3
2
．
（Ⅰ）求ω；
（Ⅱ）將函數(shù)y=g（x）的圖象向右平移
π
3
個(gè)單位，再將所得圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的
1
4
，得到函數(shù)y=f（x）的圖象，求函數(shù)g（x）的解析式及其在[-
π
3
，
π
3
]上的值域．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知向量
m
=（sinωx，1），
n
=（
3
Acosωx，
A
2
cos2ωx）（A＞0，ω＞0），函數(shù)f（x）=
m
•
n
的最大值為3，且其圖象相鄰兩條對(duì)稱軸之間的距離為π．
（I）求函數(shù)f（x）的解析式；
（II）將函數(shù)y=f（x）的圖象向左平移
π
6
個(gè)單位，再將所得圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的
1
2
倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)y=g（x）的圖象．
（1）求函數(shù)g（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）求函數(shù)g（x）在[
π
4
，
π
2
]上的值域．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知向量m=(cosθ,sinθ),n=(-sinθ,cosθ),θ∈(π,2π),且|m+n|=,求cos(+)的值.

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