Question

20．已知函數(shù)f（x）=x-alnx．
（Ⅰ）當a=3時，判斷函數(shù)f（x）零點的個數(shù)；
（Ⅱ）設函數(shù)g（x）=$\frac{1-a}{2}$x²-f（x）且a＜1，試確定g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的導數(shù)，解關于導函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，得到函數(shù)的極小值，從而求出函數(shù)的零點的個數(shù)即可；
（Ⅱ）求出g（x）的導數(shù)，通過討論a的范圍，求出函數(shù)的遞增區(qū)間即可．

解答 解：（Ⅰ）a=3時，f（x）=x-3lnx，f′（x）=1-$\frac{3}{x}$，
0＜x＜3時，f′（x）＜0，x＞3時，f′（x）＞0，
∴f（x）在（0，3）遞減，在（3，+∞）遞增，
∴f（x）_極小值=f（3）=3-3ln3＜0，
又f（1）=1＞0，f（e²）=e²-6＞0，f（1）f（3）＜0，f（3）f（e²）＜0，
∴f（x）在（1，3），（3，e²）各有1個零點，f（x）的零點個數(shù)是2；
（Ⅱ）g（x）=$\frac{1-a}{2}$x²-x+alnx，
g′（x）=$\frac{（1-a）（x-1）（x-\frac{a}{1-a}）}{x}$，
∵a＜1，x＞0，∴當$\frac{a}{1-a}$＜1即a＜$\frac{1}{2}$時，
由g′（x）＞0，解得：x＞1或0＜x＜$\frac{a}{1-a}$，
當$\frac{a}{1-a}$=1即a=$\frac{1}{2}$時，g′（x）≥0，
當$\frac{a}{1-a}$＞1即$\frac{1}{2}$＜a＜1時，由g′（x）＞0，解得：x＞$\frac{a}{1-a}$或x＜1，
∴a＜$\frac{1}{2}$時，g（x）在（0，$\frac{a}{1-a}$），（1，+∞）遞增，
a=$\frac{1}{2}$時，g（x）在（0，+∞）遞增，
$\frac{1}{2}$＜a＜1時，g（x）在（0，1），（$\frac{a}{1-a}$，+∞）遞增．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、極值問題，考查導數(shù)的應用以及分類討論思想，是一道中檔題．