Question

在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，設(shè)向量=（a，），=（cosC，c-2b），且⊥．
（Ⅰ）求角A的大��；
（Ⅱ）若a=1，求△ABC的周長l的取值范圍．

Answer 1

解：（Ⅰ）由題意⊥．可知：，
即acosC+=b，得sinAcosC+sinC=sinB．
又sinB=sin（A+C）=sinAcosB+cosAsinC．
∴，∵sinC≠0，∴cosA=．
又0＜A＜π∴A=．
（Ⅱ）由正弦定理得：b=，，
l=a+b+c=1+=1+
=1+2（）
=1+2sin（B+）．
∵A=．
∴B∈，∴B+，
∴sin（B+）．
故△ABC的周長l的范圍為（2，3]．
分析：（Ⅰ）利用向量的垂直，推出數(shù)量積為0，通過三角形內(nèi)角和以及兩角和的正弦函數(shù)，確定角A的大�。�
（Ⅱ）若a=1，利用正弦定理求出b、c的表達(dá)式，通過三角形的內(nèi)角和以及兩角和的正弦函數(shù)化簡表達(dá)式，根據(jù)角的范圍，確定三角函數(shù)的范圍，然后求△ABC的周長l的取值范圍．
點評：本題考查正弦定理，兩角和的正弦函數(shù)，向量的數(shù)量積等知識的應(yīng)用，考查計算能力．