Question

如圖，三棱錐P-ABC中，PC⊥平面ABC，PC=AC=2，AB=BC，D是PB上一點(diǎn)，且CD⊥平面PAB．
（Ⅰ） 求證：AB⊥平面PCB；
（Ⅱ） 求異面直線AP與BC所成角的大小；
（Ⅲ） 在PA上是否存在一點(diǎn)E，使得二面角E-BC-A的大小為45°．若存在，指出點(diǎn)E的位置；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（I）根據(jù)線面垂直的性質(zhì)，得PC⊥AB且CD⊥AB，結(jié)合PC、CD是平面PBC內(nèi)的相交直線，得AB⊥平面PCB；
（II）過點(diǎn)A作AF∥BC，且AF=BC，連接PF，CF，則∠PAF（或其補(bǔ)角）為異面直線PA與BC所成的角．在Rt△PFA中，算出
tan∠PAF=

3

，從而得到異面直線PA與BC所成的角為

π

3

．
（III）假設(shè)點(diǎn)E存在，過E作EF⊥CA于E，過F作FO⊥BC于O．由面面垂直的性質(zhì)結(jié)合三垂線定理，可得∠EOF為二面角E-BC-A的平面角．利用等腰直角三角形的性質(zhì)和相似三角形，可得當(dāng)∠EOF=45°時(shí)，AE=2(2-

2

)，由此可得在PA上存在點(diǎn)E，使二面角E-BC-A的大小為45°．

解答：解：（Ⅰ）∵PC⊥平面ABC，AB?平面ABC，∴PC⊥AB．
∵CD⊥平面PAB，AB?平面PAB，∴CD⊥AB．
又∵PC∩CD=C，PC、CD⊆平面PBC，
∴AB⊥平面PCB． 
（Ⅱ）過點(diǎn)A作AF∥BC，且AF=BC，連接PF，CF．
則∠PAF（或其補(bǔ)角）為異面直線PA與BC所成的角．
∵AB⊥平面PCB，BC⊆平面PCB，
∴AB⊥BC，得CF⊥AF．
∵△ACF中，AC=2，AF=CF，∴AF=CF=

2

，
由三垂線定理，得PF⊥AF，可得PF=

PC2+CF2

=

6

，
在Rt△PFA中，tan∠PAF=

PF

AF

=

6

2

=

3

，得∠PAF=

π

3

．
∴異面直線PA與BC所成的角為

π

3

．
（Ⅲ）假設(shè)點(diǎn)E存在，過E作EF⊥CA于E，過F作FO⊥BC于O．
∵PC⊥平面ABC，PC⊆平面PCA，∴平面PCA⊥平面ABC，
∵平面PCA∩平面ABC=AC，EF⊥AC，∴EF⊥平面ABC．
由三垂線定理，得EO⊥BC．所以∠EOF為二面角E-BC-A的平面角．
設(shè)EF=a，則OF=AF=a，AE=

2

a．
由△COF∽△CBA，得

OF

AB

=

CF

CA

，
即

a

2

=

2-a

2

解之得a=2(

2

-1)，即AE=2(2-

2

)．
∴在PA上存在一點(diǎn)E，當(dāng)AE=2(2-

2

)時(shí)，二面角E-BC-A的大小為45°．

點(diǎn)評：本題給出特殊三棱錐，求證線面垂直并探索二面角的大小，著重考查了空間垂直位置關(guān)系的證明、異面直線所成角的求法和二面角的平面角求法等知識，屬于中檔題．