Question

如圖，梯形ABCD和正△PAB所在平面互相垂直，其中AB∥DC，，且O為AB中點(diǎn)．
（ I ） 求證：BC∥平面POD；
（ II ） 求證：AC⊥PD．

Answer 1

【答案】分析：（I）由O為AB中點(diǎn)，AB∥DC，，我們易得到BC∥OD，進(jìn)而根據(jù)線面平行的判定定理，即可得到答案．
（II）連接OC，由CD=BO=AO，CD∥AO，我們易判斷出ADCO為菱形，則兩條對(duì)角線AC⊥DO，又由梯形ABCD和正△PAB所在平面互相垂直，O為AB中點(diǎn)由面面垂直、及線面垂直的性質(zhì)，易得PO⊥AC，進(jìn)而由線面垂直的判定定理可得AC⊥平面POD，再由線面垂直的定義，即可得到結(jié)論．
解答：證明：（I）因?yàn)镺為AB中點(diǎn)，
所以，（1分）
又AB∥CD，，
所以有CD=BO，CD∥BO，（2分）
所以O(shè)DCB為平行四邊形，
所以BC∥OD，（3分）
又DO?平面POD，BC?平面POD，
所以BC∥平面POD．（5分）
（II）連接OC．
因?yàn)镃D=BO=AO，CD∥AO，
所以ADCO為平行四邊形，（6分）
又AD=CD，所以ADCO為菱形，
所以AC⊥DO，（7分）
因?yàn)檎�三角形PAB，O為AB中點(diǎn)，
所以PO⊥AB，（8分）
又因?yàn)槠矫鍭BCD⊥平面PAB，平面ABCD∩平面PAB=AB，
所以PO⊥平面ABCD，（10分）
而AC?平面ABCD，所以PO⊥AC，
又PO∩DO=O，所以AC⊥平面POD．（12分）
又PD?平面POD，所以AC⊥PD．（13分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是直線與平面平行的判定，直線與平面垂直的性質(zhì)，其中熟練掌握空間中線面之間垂直及平行的判定、性質(zhì)和定義，建立良好的空間想像能力是解答立體幾何證明問題的關(guān)鍵．