Question

已知集合A的元素全為實數，且滿足：若a∈A，則∈A.

(1)若a=2,求出A中其他所有元素.

(2)0是不是集合A中的元素？請你設計一個實數a∈A,再求出A中的所有元素.

(3)根據（1）（2），你能得出什么結論？請證明你的猜想（給出一條即可）.

Answer 1

解析：(1)由2∈A,得=-3∈A.

又由-3∈A，得∈A.

再由-∈A，得∈A.

而∈A時，=2∈A.

故A中元素為2，-3，-，.

(2)0不是A的元素.若0∈A，則=1∈A，而當1∈A時，不存在，故0不是A的元素.

取a=3,可得A={3,-2,-}.

(3)猜想：①A中沒有元素-1，0，1；

②A中有4個元素，且每兩個互為負倒數.

證明：①由上題，0、1A，若0∈A，則由=0,得a=-1.

而當=-1時，a不存在，故-1A,A中不可能有元素-1，0，1.

②設a₁∈A,則a₁∈Aa₂=∈Aa₃==-∈Aa₄==∈Aa₅==a₁∈A.

又由集合元素的互異性知，A中最多只有4個元素：a₁,a₂,a₃,a₄,且a₁a₃=-1,a₂a₄=-1,顯然a₁≠a₃,a₂≠a₄.

若a₁=a₂,即a₁=，得a₁²+1=0,

此方程無解；同理，若a₁=a₄,即a₁=,此方程也無實數解.

故a₁≠a₂,a₁≠a₄.∴A中有4個元素.