Question

7．已知函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于原點對稱，且當(dāng)x∈（-∞，0），f（x）+xf′（x）＜0成立，若a=（-2）×f（-2），b=f（1），c=3×f（3），則a，b，c的關(guān)系大小是（　�。�

• A． b＞a＞c
• B． c＞b＞a
• C． c＞a＞b
• D． a＞c＞b

Answer 1

分析 構(gòu)造函數(shù)F（x）=xf（x），求導(dǎo)數(shù)，判斷單調(diào)性求解，再判斷F（x）的奇偶性，即可得到F（-3）＞F（-2）＞F（-1），問題得以解決．

解答 解：令函數(shù)F（x）=xf（x），則F′（x）=f（x）+xf′（x）
∵f（x）+xf′（x）＜0，
∴F（x）=xf（x）在（-∞，0）單調(diào)遞減，
∵函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于原點對稱，
∴y=f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，
可知F（x）=xf（x）在R上為偶函數(shù)
∵a=-2f（-2），b=f（1），c=3•f（3），
∴a=F（-2），b=F（-1），c=F（-3）
∴F（-3）＞F（-2）＞F（-1），
即c＞a＞b
故選：C

點評 本題考察了復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)，導(dǎo)數(shù)在單調(diào)性中的應(yīng)用，關(guān)鍵構(gòu)造函數(shù)，掌握函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，屬于中檔題