Question

如圖，在棱長為1的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分別是棱AA₁、CC₁的中點．
（1）求點E到面對角線BD的距離；
（2）求證：四邊形BED₁F是菱形．

Answer 1

分析：（1）連結(jié)AC與BD交于O點，連EO，利用線面垂直的性質(zhì)與判定證出EO⊥BD，從而點E到面對角線BD的距離即為EO的長，在Rt△EAO中利用勾股定理算出EO=

3

2

，即得點E到面對角線BD的距離；
（2）DD₁的中點M，連結(jié)AM、FM，證出FM與AB平行且相等，得到四邊形FMAB為平行四邊形，從而得到平行四邊形
AMD₁E中ED₁與AM平行且相等，從而得到四邊形EBFD₁是平行四邊形，再算出EB=BF即可證出四邊形EBFD₁是菱形．

解答：解：（1）連結(jié)AC與BD交于O點，連EO，則BD⊥AO
∵EA⊥平面ABCD，∴EO在平面ABCD上的射影為AO
結(jié)合BD⊥AO，得EO⊥BD
∴點E到面對角線BD的距離即為EO的長…（3分）
在Rt△EAO中，EA=

1

2

，∠EAO=90°，AO=

2

2

，
∴EO=

EA2+AO2

=

3

2

即點E到面對角線BD的距離為

3

2

…（6分）
（2）取DD₁的中點M，連結(jié)AM、FM
∵FM∥CD∥AB，且FM=CD=AB，∴四邊形FMAB為平行四邊形
可得BF∥AM，且BF=AM
又∵四邊形AMD₁E也是平行四邊形，
∴ED₁∥AM，且ED₁=AM
∴BF∥ED₁，且BF=ED₁，可得四邊形EBFD₁是平行四邊形，（10分）
又∵EB=

5

2

=BF，∴四邊形EBFD₁是菱形…（12分）

點評：本題在正方體中求點線距離，并證明四邊形為菱形，著重考查了正方體的性質(zhì)、線面垂直的判定與性質(zhì)、勾股定理和平行四邊形形的判定與性質(zhì)等知識，屬于中檔題．