Question

（2012•杭州二模）已知?jiǎng)狱c(diǎn)P在直線 x+2y-1=0上，動(dòng)點(diǎn)Q在直線 x+2y+3=0上，線段PQ中點(diǎn) M（x₀，y₀）滿足不等式

y0≤ x0 3 +2 y0≤-x0+2

，則

x 2 0 + y 2 0

的取值范圍是

[

5

5

，

34

]

．

Answer 1

分析：首先由直線x+2y-1=0與直線x+2y+3=0是平行線，得出PQ的中點(diǎn)M（x₀，y₀）滿足的直線方程；再根據(jù)

y0≤ x0 3 +2 y0≤-x0+2

對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域進(jìn)一步限定M的范圍；最后結(jié)合

x 2 0 + y 2 0

的幾何意義求出其范圍．

解答：解：根據(jù)題意作圖如下：
因?yàn)镻Q中點(diǎn)為M，則點(diǎn)M的坐標(biāo)滿足方程x+2y+1=0，
又

y0≤ x0 3 +2 y0≤-x0+2

，則點(diǎn)M在線段AB上，
且由方程組

x+2y+1=0 y= x 3 +2

和

x+2y+1=0 y=-x+2

可得 A（-3，1），B（5，-3）
而

x 2 0 + y 2 0

可視為點(diǎn)M與原點(diǎn)O的距離，
其距離最小為原點(diǎn)到直線x+2y+1=0的距離，最大為OB．
由點(diǎn)到直線的距離公式可得d=

1

12+22

=

5

5

，
由兩點(diǎn)間的距離公式可得d′=

52+(-3)2

=

34

故

x 2 0 + y 2 0

的取值范圍是[

5

5

，

34

]
故答案為：[

5

5

，

34

]

點(diǎn)評(píng)：本題考查兩點(diǎn)間的距離公式，涉及距離公式幾何意義的應(yīng)用，屬中檔題．