Question

19．若不等式x²+px+q＜0的解集是{x|1＜x＜2}，則不等式$\frac{{x}^{2}+px+q}{{x}^{2}-x+6}$≥0的解集是{x|x≥2或x≤1}．

Answer 1

分析 根據(jù)一元二次不等式與一元二次方程之間的關(guān)系求出p，q，結(jié)合分式不等式的性質(zhì)進(jìn)行求解即可．

解答 解：∵不等式x²+px+q＜0的解集是{x|1＜x＜2}，
∴1，2是方程x²+px+q=0的根，
則1+2=-p，即p=-3，
1×2=q，即q=2，
則不等式$\frac{{x}^{2}+px+q}{{x}^{2}-x+6}$≥0等價(jià)為$\frac{{x}^{2}-3x+2}{{x}^{2}-x+6}$≥0，
∵x²-x+6＞0恒成立，
∴不等式$\frac{{x}^{2}-3x+2}{{x}^{2}-x+6}$≥0等價(jià)為x²-3x+2≥0，
即x≥2或x≤1，
即不等式的解集為{x|x≥2或x≤1}，
故答案為：{x|x≥2或x≤1}．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查一元二次不等式與分式不等式的解法，根據(jù)條件求出p，q是解決本題的關(guān)鍵．