Question

已知，且（1-2x）ⁿ=a+a₁x+a₂x²+a₃x³+…+a_nxⁿ．
（Ⅰ）求n的值；
（Ⅱ）求a₁+a₂+a₃+…+a_n的值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）根據題意，將按排列、組合公式展開化簡可得（n-5）（n-6）=90，解可得：n=15或n=-4，又由排列、組合數的定義，可得n的范圍，即可得答案；
（Ⅱ）由（Ⅰ）中求得n的值，可得（1-2x）¹⁵=a+a₁x+a₂x²+a₃x³+…+a₁₅x¹⁵，令x=1可得a+a₁+a₂+a₃+…+a₁₅=-1，令令x=0得a=1，兩式相減可得答案．
解答：解：（Ⅰ）根據題意，
由得：n（n-1）（n-2）（n-3）（n-4）=56•
即（n-5）（n-6）=90
解之得：n=15或n=-4（舍去）．
∴n=15．
（Ⅱ）當n=15時，由已知有（1-2x）¹⁵=a+a₁x+a₂x²+a₃x³+…+a₁₅x¹⁵，
令x=1得：a+a₁+a₂+a₃+…+a₁₅=-1，
令x=0得：a=1，
∴a₁+a₂+a₃+…+a₁₅=-2．
點評：本題考查二項式定理的應用、二項式系數的性質，解題時要注意排列、組合數的定義、性質，其次注意靈活運用賦值法．