Question

已知四棱錐P-ABCD的三視圖如圖所示，其中主視圖、側(cè)視圖是直角三角形，俯視圖是有一條對(duì)角線(xiàn)的正方形．E是側(cè)棱PC上的動(dòng)點(diǎn)．

（1）求證：BD⊥AE；
（2）若E為PC的中點(diǎn)，求二面角C-BD-E所成角的正切值．

Answer 1

【答案】分析：（1）要證BD⊥AE，只要證BD⊥面PAC，只需證BD⊥AC，BD⊥PC；
（2）要求直線(xiàn)BE與平面PBD所成角的正切值，必須找到直線(xiàn)BE在平面PBD內(nèi)的射影，由（1）易找面PBD的垂線(xiàn)，歸從而結(jié)為解直角三角形．
解答：（1）證明：∵PC⊥BC，PC⊥DC，BC∩DC=C，∴PC⊥面ABCD
∵BD?面ABCD，∴BD⊥PC，
又因?yàn)锽D⊥AC，PC∩AC=C，∴BD⊥面PAC，
又∵AE?面PAC，∴BD⊥AE
（2）解：連AC交BD于點(diǎn)O，連PO，
由（1）知BD⊥面PAC，∴面BED⊥面PAC，
過(guò)點(diǎn)E作EH⊥PO于H，則EH⊥面PBD，連接BH，則∠EBH為BE與平面PBD所成的角．
∵BC=1，CE=1，∴BE=，
在直角△PCO中，PC=2，CO=，∴PO=
在△PEO中，PO×EH=PE×C0，∴EH=，
在△EBH中，BE=，EH=，∴BH=
∴tan∠EBH==．
點(diǎn)評(píng)：本題考查直線(xiàn)與平面垂直，直線(xiàn)與直線(xiàn)垂直的證明，考查線(xiàn)面角，解題的關(guān)鍵是掌握線(xiàn)面垂直的判定，正確作出線(xiàn)面角，屬于中檔題．