Question

定義函數(shù)F（x，y）=（1+x）^y，x，y∈（0，+∞）．
（1）令函數(shù)f（x）=F[1，]的圖象為曲線C₁求與直線4x+15y-3=0垂直的曲線C₁的切線方程；
（2）令函數(shù)g（x）=F[1，]的圖象為曲線C₂，若存在實(shí)數(shù)b使得曲線C₂在x（x∈（1，4））處有斜率為-8的切線，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（3）當(dāng)x，y∈N^*，且x＜y時(shí)，證明F（x，y）＞F（y，x）．

Answer 1

【答案】分析：（1）由函數(shù)F（x，y）的定義可求得f（x），根據(jù)垂直關(guān)系可得切線斜率即f′（x）值，從而可求得切點(diǎn)坐標(biāo)，求出切線方程．
（2）曲線C₂在x（x∈（1，4））處存在斜率為-8的切線，即g′（x）=-8有解，由已知消去b轉(zhuǎn)化為關(guān)于a，x的不等式即可解得．
（3）F（x，y）＞F（y，x）?（1+x）^y＞（1+y）^x?yln（1+x）＞xln（1+y）?，構(gòu)造函數(shù)h（x）=，利用導(dǎo)數(shù)判斷h（x）單調(diào)遞減即可．
解答：解：（1）f（x）=F=x³-3x，
由，得x³-3x＞1．又，由f′（x）=0，得x=，
∵x³-3x＞1，∴x=．又f（-）=，∴切點(diǎn)為（）．
∴存在與直線4x+15y-3=0垂直的切線，其方程為，即15x-4y+27=0．
（2）g（x）==x³+ax²+bx+1．
由＞0，得x³+ax²+bx＞0，
由g′（x）=3x²+2ax+b=-8，得b=-3x²-2ax-8，
x³+ax²+bx=x³+ax²+x（-3x²-2ax-8）=-2x³-ax²-8x＞0在（1，4）上有解，
∴2x²+ax+8＜0在（1，4）上有解，即a在（1，4）上有解，∴a（1＜x＜4），
而-2x-=-（2x+）≤-2=-8，當(dāng)且僅當(dāng)x=2時(shí)取等號(hào)，∴a＜-8．
故實(shí)數(shù)a的取值范圍為（-∞，-8）．
證明：（3）F（x，y）＞F（y，x）?（1+x）^y＞（1+y）^x?yln（1+x）＞xln（1+y）?，
令h（x）=，則，當(dāng)x≥2時(shí)，，
∴h′（x）＜0，h（x）單調(diào)遞減．
∴當(dāng)2≤x＜y時(shí)，h（x）＞h（y），又當(dāng)x=1且y=2時(shí)，h（1）=ln2．
故當(dāng)x，y∈N^*，且x＜y時(shí)，h（x）＞h（y），即F（x，y）＞F（y，x）．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決新問題的能力．