Question

（2012•棗莊一模）已知0＜α＜

π

2

，且tan(α-

π

3

)=

3

-2．
（1）求α的值；
（2）令f(x)=sin(

π

2

x+α)(x∈R)，求f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2012）的值．

Answer 1

分析：（1）利用兩角和與差的正切函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化簡已知等式的左邊，得到關(guān)于tanα的方程，求出方程的解得到tanα的值，由α的范圍，利用特殊角的三角函數(shù)值即可求出α的值；
（2）將（1）求出的α值代入，確定出f（x）解析式，找出ω的值，代入周期公式求出f（x）的最小正周期為4，所求式子4個(gè)一循環(huán)，將x=1，2，3，4分別代入解析式中，求出f（1）+f（2）+f（3）+f（4）的值，即可求出所求式子的值．

解答：解：（1）∵tan（α-

π

3

）=

tanα- 3

1+ 3 tanα

=

3

-2，
解得：tanα=1，又0＜α＜

π

2

，
∴α=

π

4

；
（2）由（1）得f（x）=sin（

π

2

x+

π

4

），
∵ω=

π

2

，∴T=

2π

π 2

=4，
f（1）=sin（

π

2

+

π

4

）=

2

2

，f（2）=sin（π+

π

4

）=-

2

2

，
f（3）=sin（

3π

2

+

π

4

）=-cos

π

2

=-

2

2

，f（4）=sin（2π+

π

4

）=

2

2

，
∴f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=0，
則f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2012）=

2012

4

×[f（1）+f（2）+f（3）+f（4）]=0．

點(diǎn)評：此題考查了兩角和與差的正切函數(shù)公式，三角函數(shù)的周期性及其求法，以及特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握公式是解本題的關(guān)鍵．