Question

（2010•臺州二模）已知函數(shù)f(x)=sin2ωx+

3

cosωx•cos(

π

2

-ωx)(ω＞0)，且函數(shù)y=f（x）的圖象相鄰兩條對稱軸之間的距離為

π

2

．
（Ⅰ）求ω的值及f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對邊，若a=

3

，b=

2

，f(A)=

3

2

，求角C．

Answer 1

分析：（Ⅰ）把函數(shù)解析式第一項利用二倍角的余弦函數(shù)公式化簡，第二項第二個因式利用誘導(dǎo)公式化簡后，利用二倍角的正弦函數(shù)公式化簡，整理后再利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化為一個角的正弦函數(shù)，根據(jù)相鄰對稱軸間的距離求出函數(shù)周期，利用周期公式即可求出ω的值，由正弦函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間[2kπ-

π

2

，2kπ+

π

2

]即可得到函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）把x=A代入第一問化簡后的函數(shù)解析式，令其值等于

3

2

，再根據(jù)A為三角形的內(nèi)角，利用特殊角的三角函數(shù)值求出A的度數(shù)，然后由a，sinA與b的值，利用正弦定理求出sinB的值，由B為三角形的內(nèi)角，且根據(jù)b小于a，利用三角形的邊角關(guān)系得到B為銳角，利用特殊角的三角函數(shù)值求出B的度數(shù)，進而利用三角形的內(nèi)角和定理求出C的度數(shù)．

解答：解：（Ⅰ）f(x)=sin2ωx+

3

cosωx•cos(

π

2

-ωx)
=

1-cos2ωx

2

+

3

cosωxsinωx
=

1-cos2ωx

2

+

3

2

sin2ωx=sin(2ωx-

π

6

)+

1

2

，
∵函數(shù)y=f（x）的圖象相鄰兩條對稱軸之間的距離為

π

2

，
∴T=π，∴ω=1…（5分）
∵2kπ-

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

π

2

，∴kπ-

π

6

≤x≤kπ+

π

3

，
則y=f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[kπ-

π

6

，kπ+

π

3

]，(k∈Z)；…（7分）
（Ⅱ）∵f(A)=

3

2

，∴sin(2A-

π

6

)=1，
∵0＜A＜π，∴A=

π

3

，…（10分）
∵sinB=

sinA

a

•b=

2

2

，又0＜B＜

2π

3

，
∴B=

π

4

，
∴C=π-

π

3

-

π

4

=

5π

12

．…（14分）

點評：此題屬于解三角形的題型，涉及的知識有：二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式，兩角和與差的正弦函數(shù)公式，正弦函數(shù)的單調(diào)性，正弦定理，以及特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握定理及公式是解本題的關(guān)鍵．